Question

已知在Rt△ABC中，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，求證：

AC•AC

BC•BC

=

AE

CE

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：首先利用相似三角形的性質(zhì)求出所證明的等式左邊與線段AD、CD之間的關(guān)系，然后借助射影定理即可解決問題．

解答：證明：如圖，∵△ABC是直角三角形，且CD⊥AB，
∴∠A+∠B=∠DCB+∠B，
故∠A=∠DCB；
又∵∠ADC=∠CDB=90°，
∴△ADC∽△CDB，

AC

BC

=

AD

CD

，
∴

AC2

BC2

=

AD2

CD2

；
又∵DE⊥AC，
∴AD²=AE•AC，CD²=CE•AC（射影定理），
∴

AD2

CD2

=

AE•AC

CE•AC

=

AE

CE

，
故

AC2

BC2

=

AE

CE

；
 即

AC•AC

BC•BC

=

AE

CE

．

點評：考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；同時還滲透了對射影定理的考查，對綜合變形能力提出了較高的要求．