Question

如圖，利用一面墻（墻的長度為20m），用34m長的籬笆圍成兩個雞場，中間用一道籬笆隔開，每個雞場均留一道1m寬的門，設(shè)AB的長為x米．
（1）若兩個雞場總面積為96m²，求x；
（2）若兩個雞場的面積和為S，求S關(guān)于x的關(guān)系式；
（3）兩個雞場面積和S有最大值嗎？若有，最大值是多少？

Answer 1

考點：二次函數(shù)的應用,一元二次方程的應用

專題：幾何圖形問題

分析：（1）根據(jù)題意可知AD的長度等于BC的長度，列出式子AD-2+3x=34，即可得出用x的代數(shù)式表示AD的長，利用題目給出的面積，列出方程式求出x的值；
（2）利用面積公式可得S關(guān)于x的關(guān)系式；
（3）把代數(shù)式表示的面積整理為a（x-h）²+b的形式可求得最大面積，亦可得出AB的長．

解答：解：（1）由題意得：AD=BC，
∵兩個雞場是用34m長的籬笆圍成，
∴AD-2+3x=34，
即AD=36-3x，
∵兩個雞場總面積為96m²，
∴列出方程式：x（36-3x）=96，
解得：x=4或x=8，
當x=4時，AD=24＞20，不合題意，舍去；
當x=8時，AD=12＜20，滿足題意，
故x=8時，兩個雞場總面積為96m²；

（2）S=AD×AB=（36-3x）•x=-3x²+36x，
∵0＜AD≤20，
∴

16

3

≤x＜12，
故S關(guān)于x的關(guān)系式：S=-3x²+36x，（

16

3

≤x＜12）．

（3）雞場面積S=x（36-3x）=-3x²+36x=-3（x-6）²+108，
當x=6時，S取最大值108，
此時AD=18＜20，符合題意，
即AB=6時，S_最大=108．

點評：本題考查二次函數(shù)的應用，涉及了一元二次方程及配方法的應用，有一定難度，解答本題的關(guān)鍵是用配方法得到最大面積，另外需要注意函數(shù)自變量的取值范圍．