Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，點P在BC上，點F在DP上，將△ADF繞點A順時針針旋轉(zhuǎn)到△ABG，GB與DP的延長線交于點E．
（1）求證：GE⊥DE；
（2）若AE=mEG，探究EG與EF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠GAB=∠FAD，∠G=∠AFD，進而求得∠GAF=90°∠G+∠AFE=180°，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和360°，即可求得∠GEF=90°，進而求得GE⊥DE．
（2）作AM⊥GE，交EG的延長線于M，作AN⊥ED于N，從而證得△AMG≌△ANF和四邊形AMEN是正方形，進一步證得MG=NF，AM=AN，證得EF=EG+2MG，ME=MG+EG=

2

2

AE，根據(jù)已知得出MG=（

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m-1）EG，即可證得EF=（

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m-）EG．

解答：（1）證明：∵△AGB≌△AFD，
∴∠GAB=∠FAD，∠G=∠AFD，
∵∠BAD=∠FAD+∠BAF=90°，∠AFD+∠AFE=90°，
∴∠GAB+∠BAF=90°，
∴∠GAF=90°∠G+∠AFE=180°，
∴∠GEF=90°，
∴GE⊥DE；
（2）如圖，作AM⊥GE，交EG的延長線于M，作AN⊥ED于N，
∴∠AGM=∠AEN，
在△AMG與△ANF中，

∠M=∠ANF=90° ∠AGM=∠AFN AG=AF

，
∴△AMG≌△ANF（AAS），
∴MG=NF，AM=AN，
∵∠AME=∠ANE=∠GEF=90°，
∴四邊形AMEN是正方形，
∴AM=AN=ME=EN，
∴EF=EG+2MG，ME=MG+EG=

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AE，
∵AE=mEG，
∴MG+EG=

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•mEG，
∴MG=（

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m-1）EG，
∴EF=EG+2MG=EG+2（

2

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m-1）EG=（

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m-1）EG，
即EF=（

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m-）EG．

點評：本題考查了正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，作出輔助線構(gòu)建正方形是本題的關(guān)鍵．