Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過A（-1，0）、C（0，4）兩點，與x軸的另一交點是B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點D（a，a+1）在第一象限的拋物線上，求點D關(guān)于直線BC的對稱點D′的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，過點D作DE⊥BC于點E，反比例函數(shù)y=

k

x

(k≠0)的圖象經(jīng)過點E，點F(m，n-

3

)在此反比例函數(shù)圖象上，求4n-

15

m

的值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）直接利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可；
（2）首先求出D點坐標(biāo)，進(jìn)而求出∠DCB=45°=∠BCD，則點D′在y軸上，且CD=CD′=3，即可得出D′點坐標(biāo)；
（3）首先利用D，D′點坐標(biāo)得出E點坐標(biāo)，即可得出反比例函數(shù)解析式，進(jìn)而得出4n-

15

m

的值．

解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過A（-1，0）、C（0，4）兩點，
∴

-1-b+c=0 c=4

，
解得：

b=3 c=4

，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+3x+4；

（2）∵y=-x²+3x+4，B點在x軸上，
∴點B（0，4），OB=4，
∵點D（a，a+1）在第一象限的拋物線上，
∴a+1=-a²+3a+4，
解得：a₁=3，a₂=-1，
∵點D（a，a+1）在第一象限，
∴a₂=-1不合題意舍去，
∴a=3，
∴點D（3，4），
∵C（0，4），
∴CD∥x軸，CD=3，
∵OC=4，OB=4，
∴∠OCB=45°=∠BCD，
∴點D′在y軸上，且CD=CD′=3，
∴點D′（0，1）；

（3）∵點D（3，4），點D′（0，1），
∴點E（

3

2

，

5

2

），
∴反比例函數(shù)解析式為：y=

15

4x

，
∵點F（m，n-

3

）在反比例函數(shù)y=

15

4x

圖象上，
∴m≠0，
∴m（n-

3

）=

15

4

，
∴4m（n-

3

）=15，
∵m≠0，
∴4n-4

3

=

15

m

，
∴4n-

15

m

=4

3

．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及等腰直角三角形的性質(zhì)和圖象上點的坐標(biāo)性質(zhì)等知識，利用數(shù)形結(jié)合得出點D′位置是解題關(guān)鍵．