Question

16．如圖，四邊形ADBC中，BC=2BD，AB平分∠DBC，AB=AC，求證：AD⊥BD．

Answer 1

分析 取BC中點E連接AE，得到△ABC為等腰三角形，再證明△ABE≌△ABD，得到∠AEB=∠ADB，根據(jù)AE垂直BC，得到∠AEB=∠ADB=90°，即AD⊥BD．

解答 解：如圖，取BC中點E連接AE，

∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴AE垂直且平分BC（等腰三角形中線定理），
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$BC，
∵2BD=BC，
∴BD=BE，
∵AB是∠CBD角平分線，
∴∠ABE=∠ABD，
在△ABD和△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BE}\\{∠ABD=∠ABE}\\{AB=AB}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△ABD，
∴∠AEB=∠ADB，
∵AE垂直BC，
∠AEB=∠ADB=90°，
∴AD⊥BD．

點評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，解決本題的關(guān)鍵是證明△ABC為等腰三角形，△ABE≌△ABD．