Question

17．如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD邊AD，CD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AE=DF，BE交AF于H，AB=2，連接DH．
（1）求證：AF⊥BE；
（2）求線段DH的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先證明△BAE≌△ADF，得出對(duì)應(yīng)角相等∠ABE=∠DAF，再根據(jù)角的互余關(guān)系求出∠AHB=90°即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，取AB的中點(diǎn)O，連接OH、OD，然后求出OH=$\frac{1}{2}$AB=1，利用勾股定理列式求出OD，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知當(dāng)O、D、H三點(diǎn)共線時(shí)，DH的長(zhǎng)度最小；當(dāng)E與A重合、F與D重合時(shí)，DH最大，此時(shí)DH=AD=2，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=DA，∠BAE=∠ADF=90°，
在△BAE和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=DF}&{\;}\\{∠BAE=∠ADF}&{\;}\\{AB=DA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴∠ABE=∠DAF，
∵∠DAF+∠BAF=90°
∴∠ABE+∠BAF=90°
∴∠AHB=90°，
∴AF⊥BE；
（2）取AB的中點(diǎn)O，連接OH、OD，如圖所示：
∵∠AHB=90°，
∴OH=$\frac{1}{2}$AB=1，
∵OD=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
當(dāng)O、D、H三點(diǎn)重合時(shí)，在一條直線上時(shí)，DH長(zhǎng)度最小，
線段DH長(zhǎng)度的最小值是：$\sqrt{5}$-1；
當(dāng)E與A重合、F與D重合時(shí)，DH最大，此時(shí)DH=AD=2，
∴線段DH的取值范圍是$\sqrt{5}$-1≤DH≤2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系、勾股定理；確定出DH最小和最大時(shí)點(diǎn)H的位置是解題關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．