Question

9．如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）與x軸相交于兩點(diǎn)E、B（E在B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C（0，2），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-4，0），且AB=AE=2，∠ACD=90°．
（1）求點(diǎn)A、B、E的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）在第一象限的拋物線上，是否存在一點(diǎn)M，作MN⊥x軸，垂足為N，使得以M、N、O為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似．

Answer 1

分析 （1）先證明△AOC∽△COD，利用相似比計(jì)算出OA=1，再利用AB=AE=2得到OB=3，OE=1，于是得到A（1，0），B（3，0），E（-1，0）；
（2）設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+1）（x-3），然后把C點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a即可得到拋物線解析式；
（3）根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+2）（0＜x＜3），則N（x，0），然后分類(lèi)討論：當(dāng)△NOM∽△OCA，則$\frac{NO}{OC}$=$\frac{NM}{OA}$，即$\frac{x}{2}$=$\frac{-\frac{2}{3}{x}^{2}+\frac{4}{3}x+2}{1}$；當(dāng)△NOM∽△OAC時(shí)，則$\frac{NO}{OA}$=$\frac{MN}{OC}$，即$\frac{x}{1}$=$\frac{-\frac{2}{3}{x}^{2}+\frac{4}{3}x+2}{2}$，再分別解一元二次方程求出x，即可得到M點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵C（0，2），D（-4，0），
∴OC=2，OD=4，
∵∠ACO+∠CAO=90°，∠ODC+∠CAO=90°，
∴∠ACO=∠CDO，
而∠AOC=∠COD=90°，
∴△AOC∽△COD，
∴$\frac{OC}{OD}$=$\frac{OA}{OC}$，即$\frac{2}{4}$=$\frac{OA}{2}$，解得OA=1，
∵AB=AE=2，
∴OB=OA+AB=3，OE=2-1=1，
∴A（1，0），B（3，0），E（-1，0）；
（2）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），
把C（0，2）代入得a•1•（-3）=2，解得a=-$\frac{2}{3}$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{2}{3}$（x+1）（x-3），即y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+2；
（3）存在．
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+2）（0＜x＜3），則N（x，0），
當(dāng)△NOM∽△OCA，則$\frac{NO}{OC}$=$\frac{NM}{OA}$，即$\frac{x}{2}$=$\frac{-\frac{2}{3}{x}^{2}+\frac{4}{3}x+2}{1}$，
即-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+2=$\frac{1}{2}$x，
整理得4x²-5x-12=0，解得x₁=$\frac{5+\sqrt{217}}{8}$，x₂=$\frac{5-\sqrt{217}}{8}$（舍去），此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{5+\sqrt{217}}{8}$，$\frac{5+\sqrt{217}}{16}$）；
當(dāng)△NOM∽△OAC時(shí)，則$\frac{NO}{OA}$=$\frac{MN}{OC}$，即$\frac{x}{1}$=$\frac{-\frac{2}{3}{x}^{2}+\frac{4}{3}x+2}{2}$，
即-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+2=2x，
整理得x²+x-3=0，解得x₁=$\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$，x₂=$\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$（舍去），此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$，-1+$\sqrt{13}$），
綜上所述，當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{5+\sqrt{217}}{8}$，$\frac{5+\sqrt{217}}{16}$）或（$\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$，-1+$\sqrt{13}$）時(shí)，以M、N、O為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和相似三角形的判定與性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；能利用相似三角形的知識(shí)求線段的長(zhǎng)和建立線段之間的關(guān)系；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用公式法解一元二次方程．