Question

4．已知關(guān)于x的一元二次方程x²+2x+$\frac{k-1}{2}$=0有實數(shù)根，k為正整數(shù)．
（1）求k的值；
（2）當(dāng)此方程有兩個非零的整數(shù)根時，將關(guān)于x的二次函數(shù)y=x²+2x+$\frac{k-1}{2}$的圖象向下平移9個單位，求平移后的圖象的表達式；
（3）在（2）的條件下，平移后的二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A，B（點A在點B左側(cè)），直線y=kx+b（k＞0）過點B，且與拋物線的另一個交點為C，直線BC上方的拋物線與線段BC組成新的圖象，當(dāng)此新圖象的最小值大于-5時，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)方程有實數(shù)根可得△≥0，求出k的取值范圍，然后根據(jù)k為正整數(shù)得出k的值；
（2）根據(jù)方程有兩個非零的整數(shù)根進行判斷，得出k=3，然后得出函數(shù)解析式，最后根據(jù)平移的性質(zhì)求出平移后的圖象的表達式；
（3）令y=0，得出A、B的坐標(biāo)，作出圖象，然后根據(jù)新函數(shù)的最小值大于-5，求出C的坐標(biāo)，然后根據(jù)B、C的坐標(biāo)求出此時k的值，即可得出k的取值范圍．

解答 解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x²+2x+$\frac{k-1}{2}$=0有實數(shù)根，
∴△=b²-4ac=4-4×$\frac{k-1}{2}$≥0，
∴k-1≤2，
∴k≤3，
∵k為正整數(shù)，
∴k的值是1，2，3；
（2）∵方程有兩個非零的整數(shù)根，
當(dāng)k=1時，x²+2x=0，不合題意，舍去，
當(dāng)k=2時，x²+2x+$\frac{1}{2}$=0，
方程的根不是整數(shù)，不合題意，舍去，
當(dāng)k=3時，x²+2x+1=0，
解得：x₁=x₂=-1，符合題意，
∴k=3，
∴y=x²+2x+1，
∴平移后的圖象的表達式y(tǒng)=x²+2x+1-9=x²+2x-8；
（3）令y=0，x²+2x-8=0，
∴x₁=-4，x₂=2，
∵與x軸交于點A，B（點A在點B左側(cè)），
∴A（-4，0），B（2，0），
∵直線l：y=kx+b（k＞0）經(jīng)過點B，
∴函數(shù)新圖象如圖所示，當(dāng)點C在拋物線對稱軸左側(cè)時，新函數(shù)的最小值有可能大于-5，
令y=-5，即x²+2x-8=-5，
解得：x₁=-3，x₂=1，（不合題意，舍去），
∴拋物線經(jīng)過點（-3，-5），
當(dāng)直線y=kx+b（k＞0）經(jīng)過點（-3，-5），（2，0）時，
可求得k=1，
由圖象可知，當(dāng)0＜k＜1時新函數(shù)的最小值大于-5．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及了根的判別式，圖象的平移，二次函數(shù)的交點問題等知識，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)圖象以及函數(shù)解析式進行分析求解，難度一般．