Question

18．如圖，AB為⊙O直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，CO⊥AB于點(diǎn)O，弦CD與AB交于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作∠CDE，使∠CDE=∠DFE，交AB的延長線于點(diǎn)E．過點(diǎn)A作⊙O的切線交ED的延長線于點(diǎn)G．
（1）求證：GE是⊙O的切線；
（2）若OF：OB=1：3，⊙O的半徑為3，求AG的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，根據(jù)等邊對等角和直角三角形的兩銳角互余求得∠OCD+∠CFO=90°，而∠EFD=∠FDE，則∠CDO+∠CDE=90°，從而證得GE是⊙O的切線．
（2）先求得EF=1，設(shè)DE=EF=x，則OF=x+1，在Rt△ODE中，根據(jù)勾股定理求得DE=4，OE=5，根據(jù)切線的性質(zhì)由AG為⊙O的切線得∠GAE=90°，再證明Rt△EOD∽Rt△EGA，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求得．

解答 （1）證明：連接OD，
∵OC=OD，
∴∠C=∠ODC，
∵OC⊥AB，
∴∠COF=90°，
∴∠OCD+∠CFO=90°，
∴∠ODC+∠CFO=90°，
∵∠EFD=∠FDE，∠CFO=∠EFD，
∴∠CDO+∠CDE=90°，
∴GE為⊙O的切線；
（2）解：∵OF：OB=1：3，⊙O的半徑為3，
∴OF=1，
∵∠EFD=∠EDF，
∴EF=ED，
在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，則EF=x，OE=1+x，
∵OD²+DE²=OE²，
∴3²+x²=（x+1）²，解得x=4，
∴DE=4，OE=5，
∵AG為⊙O的切線，
∴AG⊥AE，
∴∠GAE=90°，
而∠OED=∠GEA，
∴Rt△EOD∽Rt△EGA，
∴$\frac{OD}{AG}$=$\frac{DE}{AE}$，即$\frac{3}{AG}$=$\frac{4}{3+5}$，
∴AG=6．

點(diǎn)評 本題考查了切線的判定、勾股定理的應(yīng)用、相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．