Question

19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，反比例函數(shù)y₁=$\frac{k}{x}$的圖象與一次函數(shù)y₂=ax+b的圖象交于點(diǎn)A（1，3）和B（-3，m）．
（1）求反比例函數(shù)y₁=$\frac{k}{x}$和一次函數(shù)y₂=ax+b的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)C 是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC∥x 軸，AD⊥BC 交直線BC 于點(diǎn)D，連接AC．若AC=$\sqrt{5}$CD，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)A在反比例函數(shù)圖象上，利用待定系數(shù)法可求出反比例函數(shù)的表達(dá)式，由點(diǎn)B在反比例函數(shù)圖象上，可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）由BC∥x軸結(jié)合點(diǎn)B的坐標(biāo)可得出點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，再由點(diǎn)A的坐標(biāo)結(jié)合AD⊥BC于點(diǎn)D，即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，即得出線段AD的長，在Rt△ADC中，由勾股定理以及線段AC、CD間的關(guān)系可求出線段CD的長，再結(jié)合點(diǎn)D的坐標(biāo)即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵反比例函數(shù)y₁=$\frac{k}{x}$的圖象與一次函數(shù)y₂=ax+b的圖象交于點(diǎn)A（1，3）和B（-3，m），
∴點(diǎn)A（1，3）在反比例函數(shù)y₁=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴k=1×3=3，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y₁=$\frac{3}{x}$．
∵點(diǎn)B（-3，m）在反比例函數(shù)y₁=$\frac{3}{x}$的圖象上，
∴m=$\frac{3}{-3}$=-1．
∵點(diǎn)A（1，3）和點(diǎn)B（-3，-1）在一次函數(shù)y₂=ax+b的圖象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=3}\\{-3a+b=-1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴一次函數(shù)的表達(dá)式為y₂=x+2．
（2）依照題意畫出圖形，如圖所示．

∵BC∥x軸，
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為-1，
∵AD⊥BC于點(diǎn)D，
∴∠ADC=90°．
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，3），
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-1），
∴AD=4，
∵在Rt△ADC中，AC²=AD²+CD²，且AC=$\sqrt{5}$CD，
∴$（\sqrt{5}CD）^{2}={4}^{2}+C{D}^{2}$，解得：CD=2．
∴點(diǎn)C₁的坐標(biāo)為（3，-1），點(diǎn)C₂的坐標(biāo)為（-1，-1）．
故點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，-1）或（3，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及解直角三角形，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）通過解直角三角形求出線段CD的長．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．