Question

7．如圖，正方形ABCO的邊OA、OC在坐標(biāo)軸上，點B坐標(biāo)為（6，6），將正方形OCBA繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)角度一個銳角度數(shù)α，得到正方形DCFE，ED交線段AB與點G，ED的延長線交線段OA于點H，連CH、CG．
（1）求證：△CBG≌△CDG；
（2）認真探究，直接寫出∠HCG=45°，HG、OH、BG之間的數(shù)量關(guān)系為HG=BG+OH．
（3）連接BD、DA、AE、EB得到四邊形AEBD，在旋轉(zhuǎn)過程中四邊形AEBD能否為矩形？如果能，請求出點H的坐標(biāo)；如果不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形性質(zhì)得出∠CBG=90°，CB=OC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠CDG=90°，CD=OC，求出CD=BC，∠CDG=∠CBG=90°，∠CDH=90°，根據(jù)HL推出Rt△CBG≌Rt△CDG即可；
（2）求出Rt△COH≌Rt△CDH，推出OH=HD，∠OCH=∠DOH，根據(jù)全等得出BG=DG，∠BCG=∠DCG，即可得出答案；
（3）根據(jù)正方形性質(zhì)得出∠BAO=90°，AB=OA=6，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出DE=AB=6，BG=AG=3，求出DG=GE=AG=3，設(shè)OH=x，則DH=OH=x，根據(jù)勾股定理得出（6-x）²+3²=（3+x）²，求出x即可．

解答 （1）證明：∵四邊形OCBA是正方形，
∴∠CBG=90°，CB=OC，
∵旋轉(zhuǎn)正方形OCBA到正方形CDEF，
∴∠CDG=90°，CD=OC，
∴CD=BC，∠CDG=∠CBG=90°，∠CDH=90°，
在Rt△CBG和Rt△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{CG=CG}\\{CD=CB}\end{array}\right.$，
∴Rt△CBG≌Rt△CDG（HL）；

（2）解：∠HCG=45°時，HG=BG+OH，
理由是：∵∠COH=∠CDH=90°，
在Rt△COH和Rt△CDH中，
$\left\{\begin{array}{l}{CG=CG}\\{CD=CB}\end{array}\right.$，
∴Rt△COH≌Rt△CDH（HL）；
∴OH=HD，∠OCH=∠DOH，
∵Rt△CBG≌Rt△CDG，
∴BG=DG，∠BCG=∠DCG，
∴HG=HD+DG=BG+OH，∠HCG=$\frac{1}{2}$∠OCB=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
故答案為，45°，HG=BG+OH；

（3）解：在旋轉(zhuǎn)過程中四邊形AEBD能為矩形，
∵四邊形OCBA是正方形，B（6，6），
∴∠BAO=90°，AB=OA=6，
∵四邊形AEBD是矩形，
∴DE=AB=6，BG=AG=3，
∴DG=GE=AG=3，
設(shè)OH=x，則DH=OH=x，
在RtGAH中，由勾股定理得：AG²+AH²=HG²，
即（6-x）²+3²=（3+x）²，
解得：x=2，
∴H的坐標(biāo)是（2，0）．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，能綜合運用性質(zhì)進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵，用了方程思想，難度偏大．