Question

8．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線AB：y=-$\frac{3}{4}$x+3與x軸、y軸分別交于A（4，0）、B（0，3）兩點，點C為線段AB上的一動點，過點C作CD⊥x軸于D．
（1）若S_梯形OBCD=4.5，求點C的坐標(biāo)；
（2）在第一象限內(nèi)求作一點P，使得以P、O、B為頂點的三角形與△OBA相似，求出所有符合條件的點P．

Answer 1

分析 （1）因為點C為線段AB上的一動點，CD⊥x軸于點D，所以可設(shè)點C坐標(biāo)為（x，-$\frac{3}{4}$x+3），那么OD=x，CD=-$\frac{3}{4}$x+3，利用梯形的面積公式可列出關(guān)于x的方程，解之即可，但要注意x的取值；
（2）因為∠AOB=90°，所以以P、O、B為頂點的三角形與△OBA相似需分三種情況進行討論：①當(dāng)∠OBP=90°時，又分△BPO∽△OAB；△BOP∽△OAB；②當(dāng)∠OPB=90°時，過點O作OP⊥BA于點P，過點P作PM⊥OA于點M．又分△PBO∽△OBA；△POB∽△OBA；③當(dāng)∠POB=90°時，點P在x軸上，不符合要求．

解答 解：（1）設(shè)點C坐標(biāo)為（x，-$\frac{3}{4}$x+3），那么OD=x，CD=-$\frac{3}{4}$x+3，
∵S_梯形OBCD=4.5，
∴$\frac{1}{2}$（-$\frac{3}{4}$x+3+3）x=4.5，
解得x₁=2，x₂=6（舍去），
∴點C的坐標(biāo)為（2，$\frac{3}{2}$）；

（2）以P，O，B為頂點的三角形與△OBA相似時，分三種情況：
①當(dāng)∠OBP=90°時，如圖1．
若△BPO∽△OAB，則$\frac{BP}{OA}$=$\frac{OB}{OB}$，
∴BP=OA=4，
∴P₁（4，3）；
若△BOP∽△OAB，則$\frac{BP}{OB}$=$\frac{OB}{OA}$，即$\frac{BP}{3}$=$\frac{3}{4}$，
∴BP=$\frac{9}{4}$，
∴P₂（$\frac{9}{4}$，3）；
②當(dāng)∠OPB=90°時，如圖2．
過點O作OP⊥BA于點P，過點P作PM⊥OA于點M．
若△PBO∽△OBA，則$\frac{BP}{OB}$=$\frac{OP}{OA}$=$\frac{OB}{AB}$，即$\frac{BP}{3}$=$\frac{OP}{4}$=$\frac{3}{5}$，
∴BP=$\frac{9}{5}$，OP=$\frac{12}{5}$．
∵在△PMO與△AOB中，
∠OPM=∠BAO，∠OMP=∠BOA=90°，
∴△PMO∽△AOB，
∴$\frac{OM}{OB}$=$\frac{PM}{OA}$=$\frac{OP}{AB}$，即$\frac{OM}{3}$=$\frac{PM}{4}$=$\frac{\frac{12}{5}}{5}$，
∴OM=$\frac{36}{25}$，PM=$\frac{48}{25}$，
∴P₃（$\frac{36}{25}$，$\frac{48}{25}$）；
若△POB∽△OBA，則∠OBP=∠BAO．
∵∠POM=∠OBP=90°-∠BOP，
∴∠POM=∠BAO，
又∠OMP=∠AOB=90°，
∴△OMP∽△AOB，
∴$\frac{PM}{OB}$=$\frac{OM}{OA}$，即$\frac{PM}{3}$=$\frac{\frac{36}{25}}{4}$，
∴PM=$\frac{27}{25}$，
∴P₄（$\frac{36}{25}$，$\frac{27}{25}$）；
③當(dāng)∠POB=90°時，點P在x軸上，不符合要求．
綜合所述，符合條件的點有四個，分別是：P₁（4，3），P₂（$\frac{9}{4}$，3），P₃（$\frac{36}{25}$，$\frac{48}{25}$），P₄（$\frac{36}{25}$，$\frac{27}{25}$）．

點評 本題是一次函數(shù)綜合題，考查了梯形的面積，相似三角形的判定與性質(zhì)，難度適中．運用分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程思想是解題的關(guān)鍵．