Question

17．如圖（1），在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+5（a≠0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，OC=5OB，拋物線的對稱軸直線DF與x軸交于點D，點F（-2，-3），點E（-7，0）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）如圖（1），若點M是線段OD上一點（點M不與點O、D重合），過點M作ML⊥x軸，交拋物線于點L，點L關于拋物線對稱軸的對稱點為點H，點P是線段ML上一點，連接PH、PE和EH，當△HEP是以HE為斜邊的等腰直角三角形時，求此時點P的坐標；
（3）如圖（2），過點B作BK⊥x軸交直線AC于點K，連接KF、AF，點N是FK的中點，點G是線段AK上任意一點，將△GFN沿GN邊翻折得到△GF′N，求當KG為何值時，△GF′N與△KGF重疊部分的面積是△KGF面積的$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由拋物線的截距為5得出C點坐標及OC長度，由OC=5OB得出B點坐標，將B點坐標代入拋物線解析式得到一個a與b的方程，再根據對稱軸為-2得到另一個a與b的方程，兩個方程聯(lián)立解出a、b即可；
（2）△HEP是以HE為斜邊的等腰直角三角形時，可證△HLP≌△PME，HL=PM，EM=LP，設出M點橫坐標m，則L、H、的坐標均可用m表示，HL、ML的長度可以用m表示，根據HL+EM=ML列出方程解之即可；
（3）分兩種情況：第一種，翻折之后，F點落在AK下方，設GF'與NK交于點R，由面積關系推出GNF'K是平行四邊形；第二種，翻折之后，F點落在AK上方，設NF'與AK交于點R，由面積積推出GNKF'是平行四邊形．

解答 解：（1）
對于拋物線y=ax²+bx+5（a≠0），
令x=0，則y=5，
∴C（0，5），
∵OC=5OB，
∴B（1，0），
∵F（-2，-3）在拋物線對稱軸上，
∴$-\frac{2a}$=-2，
∴b=4a，
將B（1，0）代入y=ax²+bx+5（a≠0）可得a+b+5=0，
∴a=-1，b=-4，
∴拋物線的解析式為y=-x²-4x+5；

（2）如圖（1）

∵△EPH是等腰直角三角形，
∴PH=HE，∠EPH=90°，
∴∠HPL+∠EPM=90°，
∵∠EPM+∠PEM=90°，
∴∠PEM=HPL，
∴△EPL≌△PEM，
∴HL=PM，ME=PL，
設M（m，0），則L（m，-m²-4m+5），H（-4-m，-m²-4m+5）
∴HL=PM=2m+4，PL=EM=m+7，
∴2m+4+m+7=-m²-4m+5，
解得：m=-1或m=-6（舍去），
∴PM=HL=2，
∴P（-1，2）；
（3）令-x²-4x+5=0，得x=-5或x=1，
∴A（-5，0），B（1，0）
∴AC的解析式為：y=-x+5，
∴K（1，6），
FK=$\sqrt{[1-（-2）]^{2}+[6-（-3）]^{2}}=3\sqrt{10}$，
①若翻折后，點F'在直線AK下方，記F'G與KN交于點R，連接F'K，如圖（2），

∴${S}_{△GNR}=\frac{1}{4}{S}_{△FGK}=\frac{1}{2}{S}_{△GNK}$=$\frac{1}{2}{S}_{△GNF'}$，
即：S_△GNR=S_△F'NR=S_△KGR，
∴NR=KR，GR=F'R，
∴F'KGN是平行四邊形，
∴KG=F'N=FN=$\frac{1}{2}KF=\frac{3\sqrt{10}}{2}$；
（3）②若翻折后，點F'在直線AK上方，記F'N與GK交點R，連接F'K，如圖（3），

∴${S}_{△GNR}=\frac{1}{4}{S}_{△FGK}=\frac{1}{2}{S}_{△GNK}$=$\frac{1}{2}{S}_{△GNF'}$，
即：S_△GNR=S_△F′GR=S_△KNR，
∴GR=RK，NR=F'R，
∴F'GNK是平行四邊形，
∴FG=F'G=KN=$\frac{1}{2}$KF=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，
∵A（-5，0），F（-2，-3），
∴∠FAO=45°，AF=3$\sqrt{2}$，
∵∠CA0=45°，
∴AF⊥AK，
∴AG=$\sqrt{F{G}^{2}-A{F}^{2}}$=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，
∴KG=KA-AG=$\frac{9}{2}\sqrt{2}$；
綜上所述，KG=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$或KG=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了待定系數法求二次函數解析式，全等三角形的判定與性質、一元二次方程的解法、勾股定理、平行四邊形的判定與性質，等面積變換、翻折變換等知識點，難度較大，是一道經典壓軸題．（2）問當通過證明△EPL≌△PEM得出線段相等關系是解決問題的關鍵；（3）問當中，注意要分兩種情況討論，每種情況當中，通過面積和相等變換得出GNF'K或GNKF'是平行四邊形是關鍵．