Question

12．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A、B、C的坐標分別是（4，0）、（-1，0）、（0，4），動點P在過A，B，C三點的拋物線上．
（1）求拋物線的解析式及它的頂點D的坐標；
（2）連結CD、AD，求△ACD的面積；
（3）是否存在點P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設拋物線的解析式是y=ax²+bx+c，把點A、B和C坐標代入解析式，列出a，b和c的三元一次方程組，求出a、b和x的值即可，進而求出頂點坐標；
（2）過點D作DG⊥x軸于G，利用S_△ACD=S_梯形OCDG+S_△ADG-S_△AOC求出答案；
（3）①當以C為直角頂點時，過點C作CP₁⊥AC，交拋物線于點P₁，過點P₁作y軸的垂線，垂足是M，先求出MC=MP₁，設P₁（m，-m²+3m+4），則m=-m²+3m+4-4，求出m的值即可；②當點A為直角頂點時，過A作AP₂⊥AC，交拋物線于點P₂，過點P₂作y軸的垂線，垂足是N，AP₂交y軸于點F．則P₂N∥x軸，求出AO=OF，P₂N=NF，進而得到m的一元二次方程，求出m的值，即可求出點P的坐標．

解答 解：（1）設拋物線的解析式是y=ax²+bx+c，
把A（4，0），B（-1，0），C（0，4）分別代入得$\left\{\begin{array}{l}a-b+c=0\\ 16a+4b+c=0\\ c=4\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=3\\ c=4\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式是：y=-x²+3x+4；
由y=-x²+3x+4得$y=-{（x-\frac{3}{2}）^2}+\frac{25}{4}$
∴拋物線的頂點D的坐標為（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{4}$）；

（2）過D作DG⊥x軸于G，如圖1，
則S_△ACD=S_梯形OCDG+S_△ADG-S_△AOC=$\frac{1}{2}（4+\frac{25}{4}）×\frac{3}{2}+\frac{1}{2}×\frac{25}{4}×（4-\frac{3}{2}）-\frac{1}{2}×4×4$=$\frac{15}{2}$；

（3）存在．①當以C為直角頂點時，過點C作CP₁⊥AC，交拋物線于點P₁．
過點P₁作y軸的垂線，垂足是M．
∵∠ACP₁=90°，
∴∠MCP₁+∠ACO=90°．
∵∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠MCP₁=∠OAC．
∵OA=OC，
∴∠MCP₁=∠OAC=45°，
∴∠MCP₁=∠MP₁C，
∴MC=MP₁，
設P₁（m，-m²+3m+4），則m=-m²+3m+4-4，
解得：m₁=0（舍去），m₂=2，
∴-m²+3m+4=6，即P₁（2，6）．
②當點A為直角頂點時，過A作AP₂⊥AC，交拋物線于點P₂，
過點P₂作y軸的垂線，垂足是N，AP₂交y軸于點F．則P₂N∥x軸，
∵∠CAO=45°，
∴∠OAP₂=45°，∠AFO=45°，
∴∠FP₂N=∠P₂FN=∠AFO=45°，
∴AO=OF，P₂N=NF，
設P₂（n，-n²+3n+4），則-n=-（-n²+3n+4）-4，
解得：n₁=-2，n₂=4（舍去），
∴-n²+3n+4=-6，
則P₂的坐標是（-2，-6）．
綜上所述，P的坐標是（2，6）或（-2，-6）．

點評 本題主要考查了二次函數(shù)綜合題的知識，此題涉及到待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質以及一元二次方程的解法的知識，解答（2）問需要把圖形進行分割，解答（3）問需要進行分類討論，此題有一定的難度．