Question

2．已知：二次函數(shù)y=ax²+bx+6（a≠0）的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側，與y軸交于點C，點A、點B的橫坐標是一元二次方程x²-4x-12=0的兩個根．
（1）請直接寫出點A、點B的坐標．
（2）請求出該二次函數(shù)表達式及對稱軸和頂點坐標．
（3）如圖，在二次函數(shù)對稱軸上是否存在點P，使△APC的周長最�。咳舸嬖�，請求出點P的坐標；若不存在，那個說明理由．

Answer 1

分析 （1）解一元二次方程x²-4x-12=0，求出點A和點B的橫坐標，進而得到答案；
（2）將A、B兩點坐標代入二次函數(shù)y=ax²+bx+6，得到a和b的二元一次方程組，求出a和b的值即可，進而求出頂點坐標；
（3）作點C關于拋物線對稱軸的對稱點C′，連接AC′，交拋物線對稱軸于P點，連接CP，求出C′坐標，求出直線AC′解析式，進而求出點P的坐標．

解答 解：（1）解方程x²-4x-12=0得x₁=-2，x₂=6，
即A（-2，0），B（6，0）；

（2）將A、B兩點坐標代入二次函數(shù)y=ax²+bx+6，
得到$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+6=0}\\{36a+6b+6=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
即y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6，
由于y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6=$\frac{1}{2}$（x-2）²+8，
即拋物線的對稱軸為x=2，頂點坐標為（2，8）；

（3）如圖，作點C關于拋物線對稱軸的對稱點C′，連接AC′，交拋物線對稱軸于P點，連接CP，
∵C（0，6），
∴C′（4，6），
設直線AC′解析式為y=kx+n，
則$\left\{\begin{array}{l}{-2k+n=0}\\{4k+n=6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴y=x+2，
當x=2時，y=4，
即P（2，4）．

點評 本題主考查了二次函數(shù)的綜合題，此題涉及到待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式、解一元二次方程以及軸對稱軸的性質，解答本題的關鍵是作出點C關于拋物線對稱軸的對稱點C′，此題難度不大．