Question

10．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，斜邊AB=4$\sqrt{2}$，O是AB的中點，以O為圓心，線段OC的長為半徑畫圓心角為90°的扇形OEF，$\widehat{EF}$經(jīng)過點C，則圖中陰影部分的面積為π-2．

Answer 1

分析 連接OC，作OM⊥BC，ON⊥AC，證明△OMG≌△ONH，則S_{四邊形OGCH}=S_{四邊形OMCN}，求得扇形FOE的面積，則陰影部分的面積即可求得．

解答 解：連接OC，作OM⊥BC，ON⊥AC．
∵CA=CB，∠ACB=90°，點O為AB的中點，AB=4$\sqrt{2}$，
∴OC=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{2}$，四邊形OMCN是正方形，OM=$\sqrt{2}$，
則扇形FOE的面積是：$\frac{90π×{2}^{2}}{360}$=π，
∵OA=OB，∠AOB=90°，點D為AB的中點，
∴OC平分∠BCA，
又∵OM⊥BC，ON⊥AC，
∴OM=ON，
∵∠GOH=∠MON=90°，
∴∠GOM=∠HON，
則在△OMG和△ONH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OMG=∠ONH}\\{∠GOM=∠HON}\\{OM=ON}\end{array}\right.$，
∴△OMG≌△ONH（AAS），
∴S_{四邊形OGCH}=S_{四邊形OMCN}=（$\sqrt{2}$）²=2．
則陰影部分的面積是：π-2，
故答案為：π-2．

點評 本題考查了三角形的全等的判定與扇形的面積的計算的綜合題，正確證明△OMG≌△ONH，得到S_{四邊形OGCH}=S_{四邊形OMCN}是解題的關鍵．