Question

2．已知關(guān)于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m²+2=0
（1）若方程有實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若方程兩實數(shù)根分別為x₁、x₂，且滿足x₁²+x₂²=10，求實數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出x₁+x₂=2（m+1）、x₁•x₂=m²+2，結(jié)合x₁²+x₂²=10即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再結(jié)合（1）的結(jié)論即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵方程x²-2（m+1）x+m²+2=0有實數(shù)根，
∴△=[-2（m+1）]²-4（m²+2）=8m-4≥0，
解得：m≥$\frac{1}{2}$．
（2）∵方程x²-2（m+1）x+m²+2=0的兩實數(shù)根分別為x₁、x₂，
∴x₁+x₂=2（m+1），x₁•x₂=m²+2，
∴x₁²+x₂²=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁•x₂=[2（m+1）]²-2（m²+2）=2m²+8m=10，
解得：m₁=-5（舍去），m₂=1．
∴實數(shù)m的值為1．

點評 本題考查了根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、解一元一次不等式以及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)方程解的情況找出關(guān)于m的一元一次不等式；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合x₁²+x₂²=10找出關(guān)于m的一元二次方程．