Question

7．方成同學看到一則材料：甲開汽車，乙騎自行車從M地出發(fā)沿一條公路勻速前往N地．設(shè)乙行駛的時間為t（h），甲乙兩人之間的距離為y（km），y與t的函數(shù)關(guān)系如圖1所示．
方成思考后發(fā)現(xiàn)了如圖1的部分正確信息：乙先出發(fā)1h；甲出發(fā)0.5小時與乙相遇．
請你幫助方成同學解決以下問題：
（1）分別求出線段BC，CD所在直線的函數(shù)表達式；
（2）當20＜y＜30時，求t的取值范圍；
（3）分別求出甲，乙行駛的路程S_甲，S_乙與時間t的函數(shù)表達式，并在圖2所給的直角坐標系中分別畫出它們的圖象；
（4）丙騎摩托車與乙同時出發(fā)，從N地沿同一公路勻速前往M地，若丙經(jīng)過$\frac{4}{3}$h與乙相遇，問丙出發(fā)后多少時間與甲相遇？

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，即可解答；
（2）先求出甲、乙的速度、所以O(shè)A的函數(shù)解析式為：y=20t（0≤t≤1），所以點A的縱坐標為20，根據(jù)當20＜y＜30時，得到20＜40t-60＜30，或20＜-20t+80＜30，解不等式組即可；
（3）得到S_甲=60t-60（$1≤t≤\frac{7}{3}$），S_乙=20t（0≤t≤4），畫出函數(shù)圖象即可；
（4）確定丙距M地的路程S_丙與時間t的函數(shù)表達式為：S_丙=-40t+80（0≤t≤2），根據(jù)S_丙=-40t+80與S_甲=60t-60的圖象交點的橫坐標為$\frac{7}{5}$，所以丙出發(fā)$\frac{5}{7}$h與甲相遇．

解答 解：（1）直線BC的函數(shù)解析式為y=kt+b，
把（1.5，0），（$\frac{7}{3}，\frac{100}{3}$）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{1.5k+b=0}\\{\frac{7}{3}k+b=\frac{100}{3}}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=40}\\{b=-60}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為：y=40t-60；
設(shè)直線CD的函數(shù)解析式為y₁=k₁t+b₁，
把（$\frac{7}{3}，\frac{100}{3}$），（4，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{7}{3}{k}_{1}+_{1}=\frac{100}{3}}\\{4{k}_{1}+_{1}=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-20}\\{_{1}=80}\end{array}\right.$，
∴直線CD的函數(shù)解析式為：y=-20t+80．
（2）設(shè)甲的速度為akm/h，乙的速度為bkm/h，根據(jù)題意得；
$\left\{\begin{array}{l}{0.5a=1.5b}\\{a（\frac{7}{3}-1）=\frac{7}{3}b+\frac{100}{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=60}\\{b=20}\end{array}\right.$，
∴甲的速度為60km/h，乙的速度為20km/h，
∴OA的函數(shù)解析式為：y=20t（0≤t≤1），所以點A的縱坐標為20，
當20＜y＜30時，
即20＜40t-60＜30，或20＜-20t+80＜30，
解得：$2＜t＜\frac{9}{4}$或$\frac{5}{2}＜t＜3$．
（3）根據(jù)題意得：S_甲=60t-60（$1≤t≤\frac{7}{3}$）
S_乙=20t（0≤t≤4），
所畫圖象如圖2所示：

（4）當t=$\frac{4}{3}$時，${S}_{乙}=\frac{80}{3}$，丙距M地的路程S_丙與時間t的函數(shù)表達式為：
S_丙=-40t+80（0≤t≤2），
如圖3，

S_丙=-40t+80與S_甲=60t-60的圖象交點的橫坐標為$\frac{7}{5}$，
所以丙出發(fā)$\frac{7}{5}$h與甲相遇．

點評 本題考查了一次函數(shù)的應用，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)圖象獲取相關(guān)信息，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．