Question

7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于P（m，n），若點Q的坐標(biāo)為（m，|m-n|），則稱點Q為點P的關(guān)聯(lián)點．
（1）請直接寫出點（2，2）的關(guān)聯(lián)點；
（2）如果點P在一次函數(shù)y=x-1的圖象上，其“關(guān)聯(lián)點”Q與點P重合，求點P的坐標(biāo)；
（3）已知點P在一次函數(shù)y=x（x＞0）和一次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x（x＞0）所圍成的區(qū)域內(nèi)，且點P的“關(guān)聯(lián)點”Q在二次函數(shù)y=x²的圖象上，求線段PQ的最大值及此時點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）直接根據(jù)關(guān)聯(lián)點的定義可求得答案；
（2）設(shè)P（x，x-1），由關(guān)聯(lián)點的定義表示出Q點的坐標(biāo)，由Q與P重合可求得P點的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點P的坐標(biāo)為（a，b），由題意可知：a＞0，b＞0且a＞b，2b＞a，然后得到點Q的坐標(biāo)為（a，a-b），再列出PQ與a的函數(shù)關(guān)系式，最后利用配方法可求得PQ的最大值，以及點P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）點（2，2）的關(guān)聯(lián)點的坐標(biāo)為（2，|2-2|），即（2，0）．
（2）設(shè)P（x，x-1），則點P的關(guān)聯(lián)點的坐標(biāo)為（x，1）．
∵點P的“關(guān)聯(lián)點”Q與點P重合，
∴x-1=1，解得x=2．
∴點P的坐標(biāo)為（2，1）．
（3）設(shè)點P的坐標(biāo)為（a，b）．
∵點P在一次函數(shù)y=x（x＞0）和一次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x（x＞0）所圍成的區(qū)域內(nèi)，
∴a＞0，b＞0且a＞b，2b＞a．
∴點P的“關(guān)聯(lián)點”Q的坐標(biāo)為（a，a-b）．
∵點Q在二次函數(shù)y=x²的圖象上，
∴a-b=a²，整理得b=a-a²．
∵PQ=b-（a-b）=2b-a，
∴PQ=2（a-a²）-a=-2a²+a=-2（a-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{1}{8}$．
∴當(dāng)a=$\frac{1}{4}$時，PQ有最大值，最大值為$\frac{1}{8}$．
把a=$\frac{1}{4}$代入b=a-a²得b=$\frac{3}{16}$．
∴點P的坐標(biāo)為（$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{16}$）．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了關(guān)聯(lián)點的定義，二次函數(shù)的性質(zhì)，列出PQ的長與點P的橫坐標(biāo)之間的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．