Question

12．在等邊△ABC的外側(cè)作直線BD，作點(diǎn)A關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接AA′交直線BD于點(diǎn)E，連接A′C交直線BD于點(diǎn)F．
（1）依題意補(bǔ)全圖1，已知∠ABD=30°，求∠BFC的度數(shù)；
（2）如圖2，若60°＜∠ABD＜90°，判斷直線BD和A′C相交所成的銳角的度數(shù)是否為定值？若是，求出這個(gè)銳角的度數(shù)；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可以作出相應(yīng)的圖形，連接A′B，由題意可得到四邊形AA′BC是菱形，根據(jù)菱形的對(duì)角線平分每一組對(duì)角，可以得到∠BFC的度數(shù)；
（2）畫出相應(yīng)的圖形，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可以得到相等的線段和相等的角，由等邊△ABC，可以得到BC=BA，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°，可以推出直線BD和A′C相交所成的銳角的度數(shù)，本題得以解決．

解答 解：（1）補(bǔ)全的圖1如下所示：

連接BA′，
∵由已知可得，BD垂直平分AA′，∠ABD=30°，△ABC是等邊三角形，
∴△BA′A是等邊三角形，AA′∥BC且AA′=BC，A′A=A′B，
∴四邊形AA′BC是菱形，
∵∠ACB=60°，
∴∠BCE=30°；

（2）直線BD和A′C相交所成的銳角的度數(shù)是定值，若下圖所示，

連接AF交BC于點(diǎn)G，
由已知可得，BA′=BA，BA=BC，F(xiàn)A′=FA，
則∠BA′A=∠BAA′，∠FA′A=∠FAA′，BA′=BC，
∴∠BA′C=∠BCA′，∠FA′B=∠FAB，
∴∠BCA′=∠FAB，
∵∠FGC=∠BGA，∠ABC=60°，
∴∠CFA=∠ABC=60°，
∵∠AFC+∠AFD+∠A′FD=180°，∠A′FD=∠AFD，
∴∠A′FD=60°，
即直線BD和A′C相交所成的銳角的度數(shù)是定值，這個(gè)銳角的度數(shù)是60°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根據(jù)軸對(duì)稱變換作圖以及等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和、菱形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，畫出相應(yīng)的圖形，根據(jù)所求問題可以探索出所求問題需要的條件．