Question

11．如圖1，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y=mx²-6mx+5m與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，$\frac{AB}{OC}$=$\frac{4}{5}$．
（1）求m的值；
（2）如圖2，連接BC，點P為點B右側(cè)的拋物線上一點，連接PA并延長交y軸于點D，過點P作PF⊥x軸于F，交線段CB的延長線于點E，連接DE，求證：DE∥AB；
（3）在（2）的條件下，點G在線段PE上，連接DG，若EG=2PG，∠DPE=2∠GDE時，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）先求出A、B兩點坐標，再根據(jù)條件求出點C坐標，即可解決問題．
（2）如圖1中，設P（t，t²-6t+5），想辦法求出D、E兩點坐標（用t表示），只要縱坐標相同即可證明．
（3）如圖3中，在DE上截取一點M，使得DM=MG．設P（t，t²-6t+5）．則PE=t²-5t．，設DM=MG=a，在Rt△MGE中，a²=（t-a）²+[$\frac{2}{3}$（t²-5t）]²，求出a，再根據(jù)tan∠DPE=tan∠GME，得$\frac{DE}{PE}$=$\frac{EG}{EM}$，列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）對于拋物線y=mx²-6mx+5m，
令y=0，得mx²-6mx+5m=0，解得x=1或5，
∴A（1，0），B（5，0），
∴AB=4，
∵$\frac{AB}{OC}$=$\frac{4}{5}$，
∴OC=5，
∴5m=5，
∴m=1．

（2）如圖2中，設P（t，t²-6t+5）．

∵OC=OB=5，∠AOB=90°，
∴∠OCB=∠OBC=∠EBF=45°，
∵PE⊥AB于F，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴BF=EF=t-5，
∴點E坐標（t，5-t），
∵A（1，0），P（t，t²-6t+5），
設直線AP的解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{tk+b={t}^{2}-6t+5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=t-5}\\{b=5-t}\end{array}\right.$，
∴D（0，5-t），
∴D、E兩點縱坐標相同，
∴DE∥AB．

（3）如圖3中，在DE上截取一點M，使得DM=MG．設P（t，t²-6t+5）．則PE=t²-5t．

∵EG=2PG，
∴GE=$\frac{2}{3}$（t²-5t），
∵MD=MG，設DM=MG=a，
∴∠MDG=∠MGD，
∴∠GME=2∠MDG，
∵∠DPE=2∠GDE，
∴∠DPE=∠GME，
∴tan∠DPE=tan∠GME，
∴$\frac{DE}{PE}$=$\frac{EG}{EM}$，
在Rt△MGE中，a²=（t-a）²+[$\frac{2}{3}$（t²-5t）]²，
∴a=$\frac{2}{9}$t³-$\frac{20}{9}$t²+$\frac{109}{18}$t，
∴EM=t-a=-$\frac{2}{9}$t³+$\frac{20}{9}$t²-$\frac{91}{18}$t，
∴$\frac{t}{{t}^{2}-5t}$=$\frac{\frac{2}{3}（{t}^{2}-5t）}{-\frac{2}{9}{t}^{3}+\frac{20}{9}{t}^{2}-\frac{91}{18}t}$，
整理得到16t²-160t+391=0，
解得t=$\frac{23}{4}$或$\frac{17}{4}$（舍棄），
∴點P坐標（$\frac{23}{4}$，$\frac{57}{16}$）．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)、等腰直角三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會利用參數(shù)，構(gòu)建方程解決問題，計算比較復雜，屬于中考壓軸題．