Question

6．如圖，拋物線y=x²+bx+c的頂點(diǎn)為D（-1，-4），與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接AC，CD，AD，試證明△ACD為直角三角形．

Answer 1

分析 （1）由于已知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，則可設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+1）²-4，然后把（0，-3）代入求出a即可；
（2）先根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問題確定A點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式分別計算出AC、CD、AD，然后根據(jù)勾股定理的逆定理判斷△ACD為直角三角形．

解答 （1）解：設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）²-4，
把（0，-3）代入得a-4=-3，解得a=1，
所以拋物線解析式為y=（x+1）²-4；
（2）證明：當(dāng)y=0時，（x+1）²-4=0，解得x₁=-3，x₂=1，則A（-3，0），B（1，0），
因?yàn)锳C²=3²+3²=18，AD²=（-1+3）²+（-4）²=20，DC²=（-1）²+（-4+3）²=2，
所以AC²+DC²=AD²，
所以△ACD為直角三角形．

點(diǎn)評 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)時，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．也考查了兩點(diǎn)間的距離公式和勾股定理的逆定理．