Question

17．如圖，點E為AB上一點，以AE，BE為邊在AB同側(cè)作等邊△AED和等邊△BEC，點P，Q，M，N分別是AB，BC，CD，DA的中點．
（1）判斷四邊形PNMQ的形狀，并證明；
（2）∠NPQ的度數(shù)為120°（直接寫出結(jié)果）．

Answer 1

分析 （1）易證△AEC≌△DEB得AC=DB，根據(jù)AB、BC、CD、DA的中點分別為P、Q、M、N，可證PQ=MN=$\frac{1}{2}$AC，PQ∥MN∥AC，四邊形PQMN為平行四邊形，根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形可以判定為菱形；
（2）利用（1）中全等三角形的對應角相等得到：∠ACE=∠DBE．結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)和三角形外角定理推知∠CAE+∠DBE=60°，由三角形內(nèi)角和定理求得
∠NPQ=∠AOB=120°．

解答 解：（1）四邊形PNMQ為菱形．證明如下：
連接AC、BD，且AC、BD交于點O．
在△AEC與△DEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=DE}\\{∠AEC=∠DEB}\\{CE=BE}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△DEB（SAS），
∴AC=DB，
∵AB、BC、CD、DA的中點分別為P、Q、M、N，
∴PQ=MN=$\frac{1}{2}$AC，PQ∥MN∥AC，
∴四邊形PNMQ為平行四邊形，
同理MQ=$\frac{1}{2}$BD，
∴MQ=PQ，
∴四邊形PNMQ為菱形；

（2）由（1）知，△AEC≌△DEB，則∠ACE=∠DBE．
∵∠CAE+∠ACE=60°，∠CAE+∠DBE=60°，
∴∠AOB=180°-60°=120°，
∴∠NPQ=∠AOB=120°．
故答案是：120°．

點評 本題考查了中點四邊形，菱形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．