Question

10．如圖，已知直線l₁：y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$與x軸y軸分別交于A，B兩點，C（2，2$\sqrt{3}$）．
（1）求出A、B兩點坐標；
（2）求△ABC的面積；
（3）在直線AB下方，是否能找到點P，使得S_△PBA=S_△ABC？若能，請在圖中畫出所有滿足條件的P點所構成的圖象，并寫出該圖象的函數(shù)關系式．

Answer 1

分析 （1）在y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$中，令x=0，則y=$\sqrt{3}$，令y=0，則x=1，于是得到距離；
（2）如圖1，過C作CD⊥x軸于D，根據(jù)C（2，2$\sqrt{3}$），于是得到OD=2，CD=2$\sqrt{3}$，即可求得S_△ABC=S_梯形BODC-S_△ABO-S_△ACD=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}+2\sqrt{3}$）×2-$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}×1×2\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
（3）如圖2所示，根據(jù)S_△PBA=S_△ABC，于是得到所有滿足條件的P點所構成的圖象是一條平行于AB且到AB的距離等于點C到AB的距離的直線，設這條直線的解析式為y=-$\sqrt{3}$x+b，根據(jù)點到直線的距離公式得到C到直線AB的距離為：$\frac{|\sqrt{3}×2+1×2\sqrt{3}-\sqrt{3}|}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，根據(jù)點A到直線y=-$\sqrt{3}$x+b的距離=C到直線AB的距離，求出b=-4$\sqrt{3}$，即可求得結論．

解答 解：（1）在y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$中，
令x=0，則y=$\sqrt{3}$，令y=0，則x=1，
∴A（1，0），B（0，$\sqrt{3}$），

（2）如圖1，過C作CD⊥x軸于D，
∵C（2，2$\sqrt{3}$），
∴OD=2，CD=2$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=S_梯形BODC-S_△ABO-S_△ACD=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}+2\sqrt{3}$）×2-$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}×1×2\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；

（3）如圖2所示，
∵S_△PBA=S_△ABC，
∴所有滿足條件的P點所構成的圖象是一條平行于AB且到AB的距離等于點C到AB的距離的直線，
設這條直線的解析式為y=-$\sqrt{3}$x+b，
∵C到直線AB的距離為：$\frac{|\sqrt{3}×2+1×2\sqrt{3}-\sqrt{3}|}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴點A到直線y=-$\sqrt{3}$x+b的距離=C到直線AB的距離，
∴$\frac{|\sqrt{3}×1+b|}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+1}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∵b＜0，
∴b=-4$\sqrt{3}$，
∴該圖象的函數(shù)關系式為：y=-$\sqrt{3}$x-4$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了一次函數(shù)的性質，求一次函數(shù)的解析式，三角形的面積的計算，根據(jù)函數(shù)的解析式求點的坐標，點到直線的距離公式，根據(jù)題目所給信息得到所有滿足條件的P點所構成的圖象是一條直線是解題的關鍵．