Question

5．已知⊙A、⊙B、⊙C的半徑都是3，且相互外切．在此三個(gè)圓所在的平面上，取與這三個(gè)圓上至少一點(diǎn)的距離為2$\sqrt{3}$-3的所有點(diǎn)，試求全部取出的點(diǎn)所構(gòu)成的區(qū)域面積．

Answer 1

分析 由已知條件得到△ABC為正三角形，邊長(zhǎng)為6，設(shè)△ABC的中心為O，解直角三角形得到OA=OB=OC=2$\sqrt{3}$，如圖，作O點(diǎn)關(guān)于AB，BC，CA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)O₁，O₂，O₃，連接AO₁，O₁B，B₂，O₂C，CO₃，O₃A，于是得到所求結(jié)論．

解答 解：由題設(shè)知，△ABC為正三角形，邊長(zhǎng)為6，
設(shè)△ABC的中心為O，OA=OB=OC=2$\sqrt{3}$，
如圖，作O點(diǎn)關(guān)于AB，BC，CA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)O₁，O₂，O₃，連接AO₁，O₁B，B₂，O₂C，CO₃，O₃A，
故所求區(qū)域?yàn)镺₁BO₂，O₂CO₃，O₃AO₁（半徑為2$\sqrt{3}$，圓心角為$\frac{4π}{3}$）
及正六邊形AO₁BO₂CO₃去掉三個(gè)圓⊙A，⊙B，⊙C（半徑為6-2$\sqrt{3}$）
其面積為3×$\frac{2π}{3}$（2$\sqrt{3}$）²+6×$\frac{\sqrt{3}}{4}$（2$\sqrt{3}$）²-3π（6-2$\sqrt{3}$）²
=24π+18$\sqrt{3}$-36π（4-2$\sqrt{3}$）
=18$\sqrt{3}+π$（72$\sqrt{3}$-120）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相切兩圓的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，圓心角定義，正確的周長(zhǎng)圖形是解題的關(guān)鍵．