Question

15．如圖，將?ABCD的邊DC延長到點E，使CE=DC，連結(jié)AE，交BC于點F．
（1）求證：BF=$\frac{1}{2}$BC；
（2）若∠AFC=2∠D，連結(jié)AC，BE，求證：四邊形ABEC是矩形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB∥CD，AB=CD，然后根據(jù)CE=DC，得到AB=EC，AB∥EC，即可證得四邊形ABEC是平行四邊形，繼而證得結(jié)論；
（2）由（1）得的結(jié)論先證得四邊形ABEC是平行四邊形，通過角的關(guān)系得出FA=FE=FB=FC，AE=BC，得證．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵CE=DC，
∴AB=EC，
∴四邊形ABEC是平行四邊形，
∴BF=$\frac{1}{2}$BC；

（2）∵由（1）知，四邊形ABEC是平行四邊形，
∴FA=FE，F(xiàn)B=FC．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ABC=∠D．
又∵∠AFC=2∠ADC，
∴∠AFC=2∠ABC．
∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，
∴∠ABC=∠BAF，
∴FA=FB，
∴FA=FE=FB=FC，
∴AE=BC，
∴四邊形ABEC是矩形．

點評 此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及矩形的判定．關(guān)鍵是利用平行四邊形的性質(zhì)，通過角的關(guān)系證矩形．