Question

15．在Rt△ABC中，∠C=90，∠A=30°，AB=6，P是AB上的一點，過點P的直線折疊此三角形，使點A的對稱點落在BC邊上，則AP的取值范圍是12$\sqrt{3}$≤PA≤3．

Answer 1

分析 設(shè)點A的對應(yīng)點為點A′，由翻折的性質(zhì)可知：PA=PA′，由垂線段最短可知PA′⊥BC時，PA′最短即PA有最小值，當(dāng)點A′與點B或點C重合時，PA有最大值．然后畫出圖形進行計算即可．

解答 解：設(shè)點A的對應(yīng)點為點A′，由翻折的性質(zhì)可知：PA=PA′．

①如圖①，當(dāng)點A′與點B或點C重合時，PA有最大值．PA=$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$；
②如圖②，當(dāng)PA′⊥BC時，PA有最小值．
在Rt△ACB中，∠A=30°，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\frac{AC}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴AC=3$\sqrt{3}$．
∵A′P⊥BC，AC⊥BC，
∴A′P∥AC．
∴△A′BP∽△CBA．
∴$\frac{A′P}{CA}=\frac{PB}{AB}$．
設(shè)：PA=PA′=x，則PB=6-x，
∴$\frac{x}{3\sqrt{3}}=\frac{6-x}{6}$．
解得：x=12$\sqrt{3}$-18．
∴12$\sqrt{3}$≤PA≤3．
故答案為：12$\sqrt{3}$≤PA≤3．

點評 本題主要考查的是翻折的性質(zhì)、特殊銳角三角函數(shù)值以及相似三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)題意畫出圖形是解題的關(guān)鍵．