Question

10．如圖，已知△ABC中，AB=AC，AM=CN，探求：∠ABC與∠ANM滿足∠B-∠ANM=30°時，$\frac{MN}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 過A 作AD∥MN交BC的延長線于D；過N作NF∥BA交AD于F，交BD于E；過AG⊥BD于G；連接FC．則四邊形AMNF是平行四邊形，于是得到AM=FN…①，AF=MN…②，由于FE∥AB，得到∠NEC=∠B，根據(jù)AB=AC，求得∠B=∠NCE，于是得到NE=NC…③，由①③④得NF=NE=NC，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到FC⊥BD，于是得到AG∥FC，推出AF：CG=FD：CD…⑤，由②⑤⑥⑦整理得$\frac{CD}{FD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求出∠CFD=60°，根據(jù)AG∥FC，得到∠CFD=∠FAG=$\frac{1}{2}$∠BAC+∠FAN，由于AD∥MN，得到∠FAN=∠ANM，于是得到∠CFD=∠FAG=∠BAC+∠ANM，由于∠BAC=180°-2∠B，即可得到結(jié)論．

解答 解：過A 作AD∥MN交BC的延長線于D；過N作NF∥BA交AD于F，交BD于E；過AG⊥BD于G；連接FC．
則四邊形AMNF是平行四邊形，
∴AM=FN…①，AF=MN…②，
∵FE∥AB，
∴∠NEC=∠B，
∵AB=AC，
∴∠B=∠NCE，
∴NE=NC…③，
又∵AM=NC…④，
由①③④得NF=NE=NC，
∴∠FCE=90°，
即FC⊥BD，
又∵AG⊥BD，
∴AG∥FC，
∴AF：CG=FD：CD…⑤，
∵AB=AC，
∴GC=$\frac{1}{2}$BC…⑥，
又∵$\frac{MN}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由②⑤⑥⑦整理得$\frac{CD}{FD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠CFD=60°，
∵AG∥FC，
∴∠CFD=∠FAG=$\frac{1}{2}$∠BAC+∠FAN，
∵AD∥MN，
∴∠FAN=∠ANM，
∴∠CFD=∠FAG=$\frac{1}{2}$∠BAC+∠ANM，
∵∠BAC=180°-2∠B，
∴∠CFD=1/2（180°-2∠B）+∠ANM=60°，
∴∠B-∠ANM=30°，
∴∠B-∠ANM=30°時，$\frac{MN}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：∠B-∠ANM=30°．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．