Question

13．如圖，已知二次函數(shù)y=ax²-4x+c的圖象與坐標軸交于點A（-1，0）和點B（0，-5）．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)圖象，寫出函數(shù)值y為正數(shù)時，自變量x的取值范圍．
（3）已知該函數(shù)圖象的對稱軸上存在一點P，使得△ABP的周長最�。�請求出點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）把A點和B點坐標代入y=ax²-4x+c中得到關(guān)于a和c的方程組，然后解方程組求出a和c即可得到拋物線解析式；
（2）先根據(jù)拋物線與x軸的交點問題求出C點坐標（C點為拋物線與x的另一個交點），然后寫出拋物線在x軸上方所對應(yīng)的自變量的取值范圍即可；
（3）連結(jié)BC交直線x=2于點P，則利用兩點之間線段最短得到此時點P為所求，再利用待定系數(shù)法求出BC的解析式，然后求出自變量為2所對應(yīng)的一次函數(shù)值即可得到P點坐標．

解答 解：（1）根據(jù)題意得$\left\{\begin{array}{l}{a+4+c=0}\\{c=-5}\end{array}\right.$，解得a=1，c=-5，
所以二次函數(shù)解析式為y=x²-4x-5；
（2）當y=0時，x²-4x-5=0，解得x₁=-1，x₂=5，
所以拋物線與x軸的交點坐標為A（-1，0），C（5，0），如圖，
當x＜-1或x＞5時，y＞0；
（3）拋物線的對稱軸為直線x=2，
連結(jié)BC交直線x=2于點P，則PC=PA，
所以PA+PB=PC+PC=PB，此時PA+PB最小，即△ABP的周長最小，
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（0，-5），C（5，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=-5}\\{5k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
所以直線BC的解析式為y=x-5，
當x=2時，y=x-5=-3，
所以使△ABP的周長最小的點P的坐標為（2，-3）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．也考查了求最短路徑的方法．