Question

18．如圖，直線y=x-1和拋物線y=x²+bx+c都經(jīng)過點A（1，0），B（3，2）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求不等式x²+bx+c＜x-1的解集（直接寫出答案）．
（3）拋物線分別與x軸，y軸交于點C，D，在拋物線對稱軸上有一點P，使PB+PC的值最小，請你求出這個最小值．

Answer 1

分析 （1）直接將A，B兩點代入函數(shù)解析式求出答案；
（2）直接利用兩函數(shù)圖象結合其交點得出x的取值范圍；
（3）結合利用軸對稱求最短路線的方法得出P點位置，再利用勾股定理得出答案．

解答 解：（1）將A（1，0），B（3，2），代入y=x²+bx+c得：
$\left\{\begin{array}{l}{1+b+c=0}\\{9+3b+c=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{c=2}\end{array}\right.$，
故拋物線解析式為：y=x²-3x+2；

（2）∵直線y=x-1和拋物線y=x²+bx+c都經(jīng)過點A（1，0），B（3，2），
∴不等式x²+bx+c＜x-1的解集為：1＜x＜3；

（3）由題意可得：點P在AB上時，此時PB+PC=AB最小，
過點B作BE⊥x軸于點E，
可得BE=2，AE=3-1=2，
則AB=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

點評 此題主要考查了二次函數(shù)與不等式一級利用軸對稱求最短路徑，正確得出P點位置是解題關鍵．