Question

7．如圖，拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其對稱軸交拋物線于點D，交x軸于點E，已知OB=OC=6．
（1）求拋物線的解析式及點D的坐標；
（2）連接BD，F(xiàn)為拋物線上一動點，當∠FAB=∠EDB時，求點F的坐標；
（3）平行于x軸的直線交拋物線于M、N兩點，以線段MN為對角線作菱形MPNQ，當點P在x軸上，且PQ=$\frac{1}{2}$MN時，求菱形對角線MN的長．

Answer 1

分析 （1）由條件可求得B、C坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式，進一步可求得D點坐標；
（2）過F作FG⊥x軸于點G，可設(shè)出F點坐標，利用△FAG∽△BDE，由相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于F點坐標的方程，可求得F點的坐標；
（3）可求得P點坐標，設(shè)T為菱形對角線的交點，設(shè)出PT的長為n，從而可表示出M點的坐標，代入拋物線解析式可得到n的方程，可求得n的值，從而可求得MN的長．

解答 解：
（1）∵OB=OC=6，
∴B（6，0），C（0，-6），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}×{6}^{2}+6b+c=0}\\{c=-6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-2x-6，
∵y=$\frac{1}{2}$x²-2x-6=$\frac{1}{2}$（x-2）²-8，
∴點D的坐標為（2，-8）；

（2）如圖1，過F作FG⊥x軸于點G，

設(shè)F（x，$\frac{1}{2}$x²-2x-6），則FG=|$\frac{1}{2}$x²-2x-6|，
在y=$\frac{1}{2}$x²-2x-6中，令y=0可得$\frac{1}{2}$x²-2x-6=0，解得x=-2或x=6，
∴A（-2，0），
∴OA=2，則AG=x+2，
∵B（6，0），D（2，-8），
∴BE=6-2=4，DE=8，
當∠FAB=∠EDB時，且∠FGA=∠BED，
∴△FAG∽△BDE，
∴$\frac{FG}{BE}$=$\frac{AG}{DE}$，即$\frac{|\frac{1}{2}{x}^{2}-2x-6|}{x+2}$=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$，
當點F在x軸上方時，則有$\frac{\frac{1}{2}{x}^{2}-2x-6}{x+2}$=$\frac{1}{2}$，解得x=-2（舍去）或x=7，此進F點坐標為（7，$\frac{9}{2}$）；
當點F在x軸上方時，則有$\frac{\frac{1}{2}{x}^{2}-2x-6}{x+2}$=-$\frac{1}{2}$，解得x=-2（舍去）或x=5，此進F點坐標為（5，-$\frac{7}{2}$）；
綜上可知F點的坐標為（7，$\frac{9}{2}$）或（5，-$\frac{7}{2}$）；

（3）∵點P在x軸上，
∴由菱形的對稱性可知P（2，0），
如圖2，當MN在x軸上方時，設(shè)T為菱形對角線的交點，

∵PQ=$\frac{1}{2}$MN，
∴MT=2PT，
設(shè)PT=n，則MT=2n，
∴M（2+2n，n），
∵M在拋物線上，
∴n=$\frac{1}{2}$（2+2n）²-2（2+2n）-6，解得n=$\frac{1+\sqrt{65}}{4}$或n=$\frac{1-\sqrt{65}}{4}$，
∴MN=2MT=4n=$\sqrt{65}$+1；
當MN在x軸下方時，同理可設(shè)PT=n，則M（2+2n，-n），
∴-n=$\frac{1}{2}$（2+2n）²-2（2+2n）-6，解得n=$\frac{-1+\sqrt{65}}{4}$或n=$\frac{-1-\sqrt{65}}{4}$（舍去），
∴MN=2MT=4n=$\sqrt{65}$-1；
綜上可知菱形對角線MN的長為$\sqrt{65}$+1或$\sqrt{65}$-1．

點評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、相似三角形的判定和性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（2）中證得△FAG∽△BDE，得到關(guān)于F點坐標的方程是解題的關(guān)鍵，注意分F點在x軸上方和下方兩種情況，在（3）中用PT的長表示出M點的坐標是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．