Question

9．如圖，在矩形ABCD中，BC=2AB，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接AE，DE．
（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AE與DE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；
（2）若點(diǎn)F，G，H分別是BE，AE，EC的中點(diǎn)，連接GF，GH和DH，請(qǐng)判斷線段GH與DH的數(shù)量和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）若以點(diǎn)E為位似中心，作與△EBA位似的△EFG（點(diǎn)F與點(diǎn)B是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)），△EFG與△EBA是位似比為k：1（0＜k＜1），BC=6，點(diǎn)H在直線BC上，請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)GH=DH且GH⊥DH時(shí)，BH的長(zhǎng)度（用含k的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出△ABE≌△DCE，進(jìn)而得出AE=ED，AE⊥ED；
（2）根據(jù)△EGF與△EAB的相似比1：2，得出EH=HC=EC，進(jìn)而得出△HGF≌△DHC，即可求出GH=HD，GH⊥HD；
（3）根據(jù)恰好使GH=HD且GH⊥HD時(shí)，得出△GFH≌△HCD，進(jìn)而得出CH的長(zhǎng)．

解答 解：（1）AE=ED，AE⊥ED．理由如下：
∵在矩形ABCD中，BC=2AB，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
∴分別BC以為直角頂點(diǎn)的△EAB和△EDC均是等腰三角形，
∴BE=EC=DC=AB，∠B=∠C=90°，
∴在△ABE與△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠B=∠C}\\{BE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴AE=DE，
∠AEB=∠DEC=45°，
∴∠AED=90°，
∴AE⊥ED．
綜上所述，AE=ED，AE⊥ED．

（2）由題意，∠B=∠C=90°，AB=BE=EC=DC，
易證△EGF與△EAB的相似比1：2，
∴∠GFE=∠B=90°，GF=$\frac{1}{2}$AB，EF=$\frac{1}{2}$EB，
∴∠GFE=∠C，∴EH=HC=$\frac{1}{2}$EC，
∴GF=HC，F(xiàn)H=FE+EH=$\frac{1}{2}$EB=$\frac{1}{2}$EC=$\frac{1}{2}$BC=EC=CD，
易證△HGF≌△DHC（AAS）．
∴GH=HD，∠GHF=∠HDC．
∵∠HDC+∠DHC=90°．
∴∠GHF+∠DHC=90°
∴∠GHD=90°．
∴GH⊥HD．

（3）根據(jù)題意得出：∵當(dāng)GH=HD，GH⊥HD時(shí)，
∴∠FHG+∠DHC=90°，
∵∠FHG+∠FGH=90°，
∴∠FGH=∠DHC，
在△HGF與△DHC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCH=∠GFH}\\{∠FGH=∠DHC}\\{DH=GH}\end{array}\right.$，
∴△GFH≌△HCD（AAS），
∴CH=FG，
∵EF=FG，
∴EF=CH，
∵△EGF與△EAB的相似比是k：1，BC=6，
∴BE=EC=3，
∴EF=3k，
∴CH的長(zhǎng)為3k．
∴BH的長(zhǎng)為6-3k．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了位似圖形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)角與對(duì)應(yīng)邊之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．