Question

16．⊙O的內(nèi)接正三角形與正六邊形的面積之比為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$：1
• B． 1：$\sqrt{3}$
• C． 1：2
• D． 1：$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 設(shè)⊙O的半徑為R，作OM⊥BC于M，ON⊥CF于N，連接OB、OC、OF；則BM=CM=$\frac{1}{2}$BC，CN=FN=$\frac{1}{2}$CF，由⊙O的內(nèi)接正三角形的性質(zhì)得出∠OBC=30°，得出OM=$\frac{1}{2}$R，BM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，得出BC=$\sqrt{3}$R，求出△ABC的面積=$\frac{1}{2}$BC•OM×3=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$R²，同理得出CN=$\frac{1}{2}$R，ON=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，CF=R，正六邊形ADBECF的面積=$\frac{1}{2}$CF•ON×6=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$R²，即可得出結(jié)果．

解答 解：設(shè)⊙O的半徑為R，如圖所示：
作OM⊥BC于M，ON⊥CF于N，連接OB、OC、OF；
則BM=CM=$\frac{1}{2}$BC，CN=FN=$\frac{1}{2}$CF，
∵△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，
∴∠OBC=30°，
∴OM=$\frac{1}{2}$R，BM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，
∴BC=$\sqrt{3}$R，
∴△ABC的面積=$\frac{1}{2}$BC•OM×3=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$R×$\frac{1}{2}$R×3=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$R²，
同理：CN=$\frac{1}{2}$R，ON=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，CF=R，
∴正六邊形ADBECF的面積=$\frac{1}{2}$CF•ON×6=$\frac{1}{2}$×R×$\frac{\sqrt{3}}{2}$R×6=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$R²，
∴⊙O的內(nèi)接正三角形與正六邊形的面積之比為1：2．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的內(nèi)接正三角形與正六邊形的性質(zhì)、正三角形與正六邊形的面積的計(jì)算、垂徑定理；熟練掌握?qǐng)A的內(nèi)接正三角形與正六邊形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．