Question

11．如圖，在△ABC中，AB=AC，M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，D、E為BC上的點(diǎn)，連結(jié)DN，EM．若AB=13cm，BC=10cm，DE=4cm，則圖中陰影部分的面積為$\frac{86}{3}$cm²．

Answer 1

分析 連接MN，過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出BG的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出AG的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形中位線定理得出MN的長(zhǎng)，由相似三角形的性質(zhì)求出△AMN的面積，再由相似三角形的性質(zhì)求出HF及GF的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論．

解答 解：連接MN，過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，
∵AB=AC，AB=13cm，BC=10cm，
∴BG=$\frac{1}{2}$BC=5cm，
∴AG=$\sqrt{{AB}^{2}-{BG}^{2}}$=$\sqrt{{13}^{2}-{5}^{2}}$=12cm．
∵M(jìn)、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，
∴MN是△ABC的中位線，
∴MN=$\frac{1}{2}$BC=5cm，AH=HG=$\frac{1}{2}$AG=6cm，
∴S_△AMN=$\frac{1}{2}$×5×6=15cm²．
設(shè)GF=x，則HF=6-x，
∵M(jìn)N∥BC，
∴∠NMF=∠DEF，∠MNF=∠EDF，
∴△MNF∽△EDF，
∴$\frac{DE}{MN}$=$\frac{GF}{HF}$=$\frac{4}{5}$=$\frac{x}{6-x}$，解得x=$\frac{8}{3}$，即GF=$\frac{8}{3}$，HF=6-$\frac{8}{3}$=$\frac{10}{3}$，
∴S_△MNF=$\frac{1}{2}$MN•HF=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{10}{3}$=$\frac{25}{3}$cm²，S_△DEF=$\frac{1}{2}$DE•GF=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{8}{3}$=$\frac{16}{3}$cm²，
∴S_陰影=S_△AMN+S_△MNF+S_△DEF=15+$\frac{25}{3}$+$\frac{16}{3}$=$\frac{86}{3}$cm²．
故答案為：$\frac{86}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是三角形中位線定理，熟知三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解答此題的關(guān)鍵．