Question

20．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，c=5，兩直角邊a，b關(guān)于x的一元二次方程x²-mx+2m-2=0的兩個根，則Rt△ABC中較小的銳角的正弦值為（　　）

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求得m的值后，再求得方程的解，求出較小銳角的正弦值．

解答 解：∵a，b是方程x²-mx+2m-2=0的解，
∴a+b=m，ab=2m-2，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，a²+b²=c²，
而a²+b²=（a+b）²-2ab，c=5，
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=25，
即：m²-2（2m-2）=25
解得，m₁=7，m₂=-3，
∵a，b是Rt△ABC的兩條直角邊的長．
∴a+b=m＞0，m=-3不合題意，舍去．
∴m=7，
當m=7時，原方程為x²-7x+12=0，
解得，x₁=3，x₂=4，
不妨設(shè)a=3，則sinA=$\frac{a}{c}$=$\frac{3}{5}$，
∴Rt△ABC中較小銳角的正弦值為$\frac{3}{5}$．
故選C．

點評 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系及銳角三角函數(shù)的定義，難度較大，主要掌握利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，勾股定理，正弦的概念求解．