Question

8．如圖點P（$\sqrt{5}$+1，$\sqrt{5}$-1）在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上．
（1）求k的值；
（2）若矩形ABCD的頂點C，D在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，頂點A，B分別在x軸，y軸的正半軸上，且AB=2BC，求點C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）將點P的坐標(biāo)代入雙曲線解析式中解答即可；
（2）過點D作DE⊥OA于點E，過點C作CF⊥OB于點F，易證得△CFB∽△BOA，得到C（$\frac{1}{2}$b，$\frac{1}{2}$a+b），解得a的值，即可求出點C的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵點P（$\sqrt{5}$+1，$\sqrt{5}$-1）在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，
∴k=（$\sqrt{5}$+1）（$\sqrt{5}$-1）=4；

（2）過點D作DE⊥OA于點E，過點C作CF⊥OB于點F，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠CBA=∠BAD=90°，
∴∠FBC+∠OBA=90°，
∵∠CFB=∠BOA=90°，
∴∠FCB+∠FBC=90°，
∴∠FBC=∠OAB，
∴△CFB∽△ABO，
∴$\frac{CF}{OB}$=$\frac{BF}{OA}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴CF=$\frac{1}{2}$OB，BF=$\frac{1}{2}$OA，
同理AE=$\frac{1}{2}$OB，DE=$\frac{1}{2}$OA，
設(shè)A（a，0），B（0，b），
∴OA=a，OB=b，
∴CF=AE=$\frac{1}{2}$b，BF=DE=$\frac{1}{2}$a
則D（a+$\frac{1}{2}$b，$\frac{1}{2}$a）C（$\frac{1}{2}$b，$\frac{1}{2}$a+b），
∵點C，D在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，
∴（a+$\frac{1}{2}$b）•（$\frac{1}{2}$a）=（$\frac{1}{2}$b）•（$\frac{1}{2}$a+b）=4，
∴a=b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴C（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，2$\sqrt{3}$）．

點評 此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、矩形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識．此題難度較大，綜合性很強，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．