Question

2．已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O分別與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點(diǎn)，已知D（0，3），連接AB、AC、AD，以AD為邊作△ADE（點(diǎn)E在第一象限），使AE=AD，∠DAE=90°．
（1）求證：△ACD≌△ABE，并說(shuō)明直線BE是⊙O的切線；
（2）若∠AEB=30°，求△ADE與⊙O重疊部分的面積；
（3）連接CE，若CE=2$\sqrt{5}$，請(qǐng)直接寫(xiě)出tan∠BED的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)SAS證明△ACD≌△ABE，得∠ACD=∠ABE，所以∠CBE=90°，即CB⊥BE，得結(jié)論；
（2）如圖2，由圖形可知，重疊部分面積=扇形OAF一△AOF的面積，分別求扇形的圓心角∠AOF的度數(shù)和半徑OA的長(zhǎng)，證明△OAF為等邊三角形，可得結(jié)論；        
（3）如圖1，設(shè)BD=x，則OB=OC=3-x，根據(jù)勾股定理列方程得：BC²+BE²=CE²，即（6-x）²+（6-2x）²=（2$\sqrt{5}$）²，求出x的值可得結(jié)論．

解答 證明：（1）由題可知：AB=AC，∠BAC=90°，
∵∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠BAD=∠DAE+∠BAD．
∴∠CAD=∠BAE．
又∵AD=AE，
∴△ACD≌△ABE（SAS）．         
∴∠ACD=∠ABE．
∵∠ACD+∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠ABC=90°．
∴∠CBE=90°．
∴CB⊥BE．
∴BE是⊙O的切線．    
          
（2）如圖2，由（1）△ACD≌△ABE，
∴∠ADC=∠AEB=30°，
在Rt△AOD中：∠DAO=90°-∠ADC=60°，
∵D（0，3），
∴OD=3，
tan30°=$\frac{OA}{OD}$，
∴AO=OD•tan30°=3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$，
設(shè)AD與⊙O的另一個(gè)交點(diǎn)為F，連結(jié)OF，
∵OA=OF，
∴△OAF為等邊三角形，
∴S_重疊部分=S_扇形OAF-S_△OAF=$\frac{60π×（\sqrt{3}）^{2}}{360}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$×$（\sqrt{3}）^{2}$=$\frac{π}{2}$-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$；

（3）如圖1，設(shè)BD=x，則OB=OC=3-x，
由（1）△ACD≌△ABE，
∴BE=CD=x+3-x+3-x=6-x，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：BC²+BE²=CE²，
即（6-x）²+（6-2x）²=（2$\sqrt{5}$）²，
5x²-36x+52=0，
（x-2）（5x-26）=0，
x₁=2，x₂=$\frac{26}{5}$＞3（舍去），
∴BD=2，BE=6-x=6-2=4，
在Rt△BDE中，tan∠BED=$\frac{BD}{BE}$=$\frac{2}{4}$，
∴tan∠BED=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是圓的綜合題，考查了切線的判定、三角形全等的性質(zhì)和判定、扇形的面積、特殊的三角函數(shù)值、勾股定理，一元二次方程等知識(shí)，難度適中，本題要掌握兩點(diǎn)：①陰影部分的面積可以利用和或差求解；②線段的長(zhǎng)通常利用勾股定理列方程求解．