Question

17．（1）如圖1，在正方形ABCD中，M是BC邊（不含端點B，C）上任意一點，P是BC延長線上一點，N是∠DCP的平分線上一點，若∠AMN=90°，求證：AM=MN．
（2）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”（如圖2），N是∠ACP的平分線上一點，則當∠AMN=60°時，結(jié)論AM=MN是否還成立？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題中條件可得∠AEM=∠MCN=135°，再由兩角夾一邊即可判定三角形全等；
（2）還是利用兩角夾一邊證明其全等，證明方法同（1）．

解答 （1）證明：在邊AB上截取AE=MC，連接ME，
∵AE=MC，
∴BE=BM，
∴∠BEM=∠EMB=45°，
∴∠AEM=135°，
∵CN平分∠DCP，
∴∠PCN=45°，
∴∠AEM=∠MCN=135°
由三角形外角的性質(zhì)可知，∠AMP=∠ABM+∠EAM，即∠AMN+∠CMN=∠ABM+∠EAM，
∵∠AMN=∠ABM=90°，
∴∠CMN=∠EAM，
在△AEM和△MCN中：
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠AEM=∠MCN}\\{AE=CM}\\{∠EAM=∠CMN}\end{array}\right.$
∴△AEM≌△MCN，
∴AM=MN；
（2）結(jié)論：仍然成立．
證明：在邊AB上截取AE=MC，連接ME，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，
∴∠ACP=120°，
∵AE=MC，
∴BE=BM，
∴∠BEM=∠EMB=60°，
∴∠AEM=120°，
∵CN平分∠ACP，
∴∠PCN=60°，
∴∠AEM=∠MCN=120°，
∵∠CMN=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠BAM，
∴△AEM≌△MCN，
∴AM=MN．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)問題，熟練掌握其性質(zhì)并能夠運用所學知識證明三角形的全等問題．