Question

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（4，0），點B為y軸正半軸上一點，點C是第一象限內(nèi)一動點，且AC的長始終為2，則∠BOC度數(shù)的取值范圍為60°≤∠BOC＜90°．

Answer 1

分析 C在以A為圓心，以2為半徑的圓周上，只有當(dāng)OC與圓A相切（即到C點）時，∠BOC最小，根據(jù)勾股定理求出此時的OC，求出∠BOC=∠CAO，根據(jù)解直角三角形求出此時的值，根據(jù)tan∠BOC的增減性，即可求出答案．

解答 解：C在以A為圓心，以2為半徑作圓，只有當(dāng)OC與圓A相切（即到C點）時，∠BOC最小，
∵AC=2，OA=4，
∴OC=$\sqrt{{OA}^{2}{-AC}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵∠BOA=∠ACO=90°，
∴∠BOC+∠AOC=90°，∠CAO+∠AOC=90°，
∴∠BOC=∠OAC，
tan∠BOC=tan∠OAC=$\frac{OC}{AC}$=$\sqrt{3}$，
∴∠BOC=60°
隨著C的移動，∠BOC越來越大，
∵C在第一象限，
∴C不到x軸點，
即∠BOC＜90°，
∴60°≤∠BOC＜90°，
故答案為：60°≤∠BOC＜90°．

點評 本題考查了解直角三角形，勾股定理，切線的性質(zhì)等知識點的應(yīng)用，能確定∠BOC的變化范圍是解此題的關(guān)鍵，題型比較好，但是有一定的難度．