Question

10．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（-3，0），B（2，0），C為y軸正半軸上一點(diǎn)，且BC=4．

（1）求∠OBC的度數(shù)；
（2）如圖2，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AB方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在邊BC上從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中：
①若點(diǎn)P的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，已知△PQB是直角三角形，求t的值；
②若點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)路程分別是a，b，已知△PQB是等腰三角形時(shí)，求a與b滿足的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）在OA上取一點(diǎn)D，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答即可；
（2）①分∠PQB=90°時(shí)和∠QPB=90°時(shí)兩種情況進(jìn)行解答即可；
②分a＜5和a＞5兩種情況，利用等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．

解答 解：（1）如圖1：

在OA上取一點(diǎn)D，使得OD=OB，連接CD，則BD=2OB=4，
∵CO⊥BD，
∴CD=CB=4，
∴CD=CB=BD，
∴△DBC是等邊三角形，
∴∠OBC=60°；
（2）①由題意，得AP=2t，BQ=t，
∵A（-3，0），B（2，0），
∴AB=5，
∴PB=5-2t，
∵∠OBC=60°≠90°，
∴下面分兩種情況進(jìn)行討論，
Ⅰ）如圖2：

當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，
∵∠OBC=60°，
∴∠BPQ=30°，
∴BQ=$\frac{1}{2}PB$，
∴$t=\frac{1}{2}（5-2t）$，
解得：t=$\frac{5}{4}$；
Ⅱ）當(dāng)∠QPB=90°時(shí)，如圖3：

∵∠OBC=60°，
∴∠BQP=30°，
∴PB=$\frac{1}{2}BQ$，
∴$5-2t=\frac{1}{2}t$，
解得：t=2；
②如圖4：

當(dāng)a＜5時(shí)，
∵AP=a，BQ=b，
∴BP=5-a，
∵△PQB是等腰三角形，∠OBC=60°，
∴△PQB是等邊三角形，
∴b=5-a，
即a+b=5，
如圖5：當(dāng)a＞5時(shí)，

∵AP=a，BQ=b，
∴BP=a-5，
∵△PQB是等腰三角形，∠QBP=120°，
∴BP=BQ，
∴a-5=b，
即a-b=5．

點(diǎn)評(píng) 本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的應(yīng)用等，根據(jù)題意作出圖形是解題的關(guān)鍵．