Question

9．已知正方形ABCD中，∠MAN=45°，且∠MAN的兩邊分別交BC、DC于點(diǎn)M、N．試猜想線段BM、DN和MN之間的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出猜想，并加以證明．

Answer 1

分析 延長(zhǎng)CB到E，使BE=DN，連接AE，根據(jù)SAS證△ABE≌△ADN，推出AE=AN，∠DAN=∠BAE，求出∠NAM=∠MAE，根據(jù)SAS證出△NAM≌△EAM，從而得到BM+DN=MN．

解答 解：BM+DN=MN．
理由：如圖，延長(zhǎng)CB至E使得BE=DN，連接AE，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠D=∠ABC=90°=∠ABE，
在△ADN和△ABE中$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠D=∠ABE}\\{DN=BE}\end{array}\right.$，
△ABE≌△ADN（SAS），
∴∠BAE=∠DAN，AE=AN，
∴∠EAN=∠BAE+∠BAN=∠DAN+∠BAN=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠EAM=∠MAN，
∵在△EAM和△NAM中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AN}\\{∠EAM=∠NAM}\\{AM=AM}\end{array}\right.$，
∴△EAM≌△NAM，
∴MN=ME，
∵M(jìn)E=BM+BE=BM+DN，
∴BM+DN=MN．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，掌握此類問(wèn)題輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．