Question

4．如圖，P是等腰△ABC的底邊BC上的一點(diǎn)，過P作AB，AC的平行線交AC，AB于點(diǎn)Q，R，證明：PQ+PR為定值．
再考慮以下問題：
（1）若點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部，可以得到類似的結(jié)論嗎？若不行，能否對(duì)P點(diǎn)再加上某種條件，使類似結(jié)論成立？
（2）若點(diǎn)P在BC延長線上，能否發(fā)現(xiàn)什么新結(jié)論？
（3）若點(diǎn)P是△ABC的BC邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作AB，AC的平行線交AC，AB于點(diǎn)Q，R，試說明若PQ+PR等于AB或AC，則△ABC是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AB∥PQ，AC∥PR，得到四邊形ARPQ為平行四邊形，所以PQ=AR，PR=AQ，得到PQ+PR=AR+PR=AB=AC．
（2）證明同（1）類似；
（3）根據(jù)平行四邊形的判定定理，先證明四邊形ARPQ為平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)得到PQ=AR=CQ，PR=AQ，得到∠C=∠QPC，又PQ平行于AB，得到∠B=∠C，所以△ABC為等腰三角形．

解答 解：（1）∵AB∥PQ，AC∥PR，
∴四邊形ARPQ為平行四邊形，
∴PQ=AR，PR=AQ，
∴PQ+PR=AR+PR=AB=AC．
（2）如圖：

∵AB∥PQ，AC∥PR，
∴四邊形ARPQ為平行四邊形，
∴PQ=AR，PR=AQ，
∵PQ∥AB，
∴∠B=∠CPQ，
∵∠B=∠ACB，∠ACB=∠PCQ，
∴∠CPQ=∠PCQ，
∴PQ=CQ，
∴PR-PQ=AQ-PQ=AQ-CQ=AC，
即PR-PQ=AB；
（3）∵過點(diǎn)P作AB、AC平行于PQ，PR，PQ+PR=AB（AC），
∴四邊形ARPQ為平行四邊形，PQ=AR=CQ，PR=AQ，
∴∠C=∠QPC，
又∵PQ平行于AB，
∴∠B=∠C，
∴△ABC為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟記平行四邊形的性質(zhì)與判定．