Question

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的面積為60，邊OA比邊OC大4，E為BC的中點(diǎn)，以O(shè)E為直徑的⊙O′交x軸于D點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)作DF⊥AE于F．
（1）求OA，OC的長(zhǎng)；
（2）求證：DF為⊙O′的切線；
（3）若點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度沿著射線CB運(yùn)動(dòng)，則運(yùn)動(dòng)t秒后，使得點(diǎn)P、O、A構(gòu)成以O(shè)A為腰的等腰三角形．
①求t的值；
②當(dāng)點(diǎn)P、O、A構(gòu)成以O(shè)A為腰的等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)P與以O(shè)為圓心OA長(zhǎng)為半徑的圓的位置關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形面積公式得方程求解；
（2）由E是BC中點(diǎn)，OC=AB，∠C=∠B可證△ABE≌△OCE，則OE=AE，再連接O′D，證∠O′DF=90°．
（3）①分別以∠AOP、∠OAP為頂角討論P(yáng)點(diǎn)位置，借助于勾股定理求出CP長(zhǎng)度，進(jìn)而確定t的值；
②在①的基礎(chǔ)上分三種情況，寫(xiě)出點(diǎn)P與以O(shè)為圓心OA長(zhǎng)為半徑的圓的位置關(guān)系．

解答 （1）解：設(shè)OC=x，則OA=x+4，根據(jù)題意得：
x（x+4）=60．
解得：x=6或x=10（舍去），
即OC=6．
則OA=6+4=10．
（2）證明：∵E為BC的中點(diǎn)，
∴CE=BE．
在△ABE和△OCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=BE}\\{∠OCE=∠B}\\{OC=AB}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△OCE
∴OE=AE．
如圖1，連接O′D．

∵OE=AE，O′O=O′D，
∴∠EOD=∠EAO=∠O′DO．
∵DF⊥AE，
∴∠EAO+∠ADF=90°．
∴∠O′DO+∠ADF=90°
∴∠O′DF=90°，DF是⊙O′的切線；
（3）解：如圖，

①當(dāng)AP₁=AO時(shí)，則$B{P}_{1}=\sqrt{A{{P}_{1}}^{2}-A{B}^{2}}=\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}=8$，
∴CP₁=BC-BP₁=10-8=2，
∴t=2÷2=1（秒）；
當(dāng)OP₂=OA時(shí)，則$C{P}_{2}=\sqrt{O{P}_{2}-O{C}^{2}}=\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∴t=8÷2=4（秒）；
當(dāng)OA=AP₃時(shí)，則$B{P}_{3}=\sqrt{A{{P}_{3}}^{2}-A{B}^{2}}=\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∴CP₃=CB+BP₃=10+8=18，
∴t=18÷2=9（秒）；
∴t=1秒或4秒或9秒．
②當(dāng)AP₁=AO時(shí)，即t=1秒，點(diǎn)P在以O(shè)為圓心OA長(zhǎng)為半徑的圓內(nèi)；
當(dāng)OP₂=OA時(shí)，即t=4秒，點(diǎn)P在以O(shè)為圓心OA長(zhǎng)為半徑的圓上；
當(dāng)OA=AP₃時(shí)，即t=9秒，點(diǎn)P在以O(shè)為圓心OA長(zhǎng)為半徑的圓外．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查切線的判定和矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定及勾股定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用．在（1）中注意方程思想的應(yīng)用；在（2）中注意證明切線的兩種方法，即有切點(diǎn)時(shí)連接圓心和切點(diǎn)，證明垂直，沒(méi)有切點(diǎn)時(shí)作垂直，證明距離等于半徑；在（3）中注意分類討論思想的運(yùn)用．本題綜合性較強(qiáng)，待查知識(shí)點(diǎn)較多，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中要注意知識(shí)的靈活運(yùn)用．