Question

13．如圖，在菱形ABCD中，AB=4，取CD中點(diǎn)O，以O(shè)為圓心OD為半徑作圓交AD于E，交BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，
（1）若cos∠AEB=$\frac{2}{3}$，則菱形ABCD的面積為8$\sqrt{5}$；
（2）當(dāng)BE與⊙O相切時(shí)，AE的長(zhǎng)為6-2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 （1）作BG⊥AD于G，連接CE，根據(jù)圓周角定理得出∠CED=90°，即CE⊥AD，進(jìn)而證得四邊形BCEG是矩形，得出GE=BC=4，解直角三角形求得BE=6，然后根據(jù)勾股定理求得BG，根據(jù)四邊形的面積公式即可求得菱形的面積；
（2）連接OE，根據(jù)切線的性質(zhì)得出FE⊥BE，即可得出∠BEG=∠CEO，進(jìn)而求得∠ECD=∠GEB，通過(guò)解直角三角形得出$\frac{ED}{CE}$=$\frac{BG}{GE}$，由GE=AD，得出AG=ED，設(shè)BG=CE=a，得出$\frac{a}{4}$=$\frac{4-AE}{a}$，通過(guò)變形得出AE²-12AE+16=0，解一元二次方程求得即可．

解答 解：（1）作BG⊥AD于G，連接CE，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD=BC=CD=4，AD∥BC，
∵CD是直徑，
∴∠CED=90°，
∴CE⊥AD，
∴BG∥CE，
∴四邊形BCEG是矩形，
∴GE=BC=4，
∵cos∠AEB=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{GE}{BE}$=$\frac{2}{3}$，
∴BE=$\frac{3}{2}$×4=6，
∴BG=$\sqrt{B{E}^{2}-G{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴菱形ABCD的面積=AD•BG=4×2$\sqrt{5}$=8$\sqrt{5}$；
故答案為8$\sqrt{5}$；
（2）連接OE，
∵BE與⊙O相切，
∴FE⊥BE，
∴∠BEG=∠CEO，
∵OE=OC，
∴∠DCE=∠CEO，
∴∠ECD=∠GEB，
∴$\frac{ED}{CE}$=$\frac{BG}{GE}$，
∵GE=AD，
∴AG=ED，
設(shè)BG=CE=a，
∴$\frac{a}{4}$=$\frac{4-AE}{a}$，
∴16-a²=4AE，
∴AG²=4AE，即（4-AE）²=4AE，
∴AE²-12AE+16=0，
解得AE=6-2$\sqrt{5}$或AE=6+2$\sqrt{5}$（不合題意，舍去），
故答案為6-2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解直角三角形等，熟練掌握性質(zhì)定理，正確作出輔助性是解題的關(guān)鍵．