Question

15．已知關(guān)于x的方程（k+1）x²+（3k-1）x+2k-2=0．
（1）求證：方程總有實數(shù)根；
（2）若方程有兩個實數(shù)根且都是整數(shù)，求負整數(shù)k的值．

Answer 1

分析 （1）分別討論k+1=0時和k+1≠0時根的情況，當k≠-1時，根據(jù)根的判別式△=（3k-1）²-4（k+1）（2k-2）=k²+6k+9=（k+3）²≥0判斷方程總有實數(shù)根；
（2）方程有兩個實數(shù)根且都是整數(shù)可得方程兩個之和也是整數(shù)，據(jù)此求出k的值．

解答 （1）證明：當k=-1時，方程（k+1）x²+（3k-1）x+2k-2=0是一元一次方程，方程有一根，
當k+1≠0時，
∵關(guān)于x的方程（k+1）x²+（3k-1）x+2k-2=0，
∴△=（3k-1）²-4（k+1）（2k-2）=k²+6k+9=（k+3）²≥0，
∴△≥0，
∴方程總有實數(shù)根；
（2）解：∵方程有兩個實數(shù)根且都是整數(shù)，
∴方程兩個之和也是整數(shù)，
∴$\frac{1-3k}{k+1}$=$\frac{-3k-3+4}{k+1}$=-3+$\frac{4}{k+1}$是整數(shù)，
∵k≠-1，
∴負整數(shù)k為-2或-3或-5．

點評 本題主要考查了根的判別式的知識，解答本題的關(guān)鍵是掌握根的判別式△與一元二次方程系數(shù)的關(guān)系，此題難度不大．