Question

1．如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，弦AE平分∠BAC，ED⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若AB=10，AC=6，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）首先連接OE，由弦AE平分∠BAC，易證得OE∥AC，又由ED⊥AC，即可證得OE⊥ED，繼而證得結(jié)論；
（2）首先過點(diǎn)O作OF⊥AC于點(diǎn)F，易得四邊形OEFD是矩形，即可得DE=OF，然后由垂徑定理求得OF的長(zhǎng)，即可求得答案．

解答 （1）證明：連接OE，
∵OA=OE，
∴∠BAE=∠OEA，
∵弦AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠DAE=∠OEA，
∴OE∥AC，
∵ED⊥AC，
∴OE⊥ED，
∴DE是⊙O的切線；

（2）解：過點(diǎn)O作OF⊥AC于點(diǎn)F，
∵ED⊥AC，
∴OF∥ED，AF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×6=3，
∵OE∥AC，
∴四邊形OEFD是矩形，
∴OF=DE，
∵OA=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×10=5，
∴OF=$\sqrt{O{A}^{2}-A{F}^{2}}$=4，
∴DE=OF=4．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線的性質(zhì)與判定、矩形的判定與性質(zhì)以及垂徑定理．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．