Question

13．如圖，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三個頂點E、G、H分別在矩形ABCD的邊AB、CD、DA上，AH=2．
（1）若DG=6，求AE的長；
（2）若DG=2，求證：四邊形EFGH是正方形．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)矩形的性質(zhì)，利用勾股定理列出表達式：HG²=DH²+DG²，HE²=AH²+AE²，再根據(jù)菱形的性質(zhì)，得到等式DH²+DG²=AH²+AE²，最后計算AE的長；
（2）先根據(jù)已知條件，用HL判定Rt△DHG≌Rt△AEH，得到∠DHG=∠AEH，因為∠AEH+∠AHE=90°，∠DHG+∠AHE=90°，可得菱形的一個角為90°，進而判定該菱形為正方形．

解答 （1）解：∵AD=6，AH=2
∴DH=AD-AH=4
∵四邊形ABCD是矩形
∴∠A=∠D=90°
∴在Rt△DHG中，HG²=DH²+DG²
在Rt△AEH中，HE²=AH²+AE²
∵四邊形EFGH是菱形
∴HG=HE
∴DH²+DG²=AH²+AE²
即4²+6²=2²+AE²
∴AE=$\sqrt{48}$=4$\sqrt{3}$；

（2）證明：∵AH=2，DG=2，
∴AH=DG，
∵四邊形EFGH是菱形，
∴HG=HE，
在Rt△DHG和Rt△AEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{HG=EH}\\{\;}\\{DG=AH}\end{array}\right.$，
∴Rt△DHG≌Rt△AEH（HL），
∴∠DHG=∠AEH，
∵∠AEH+∠AHE=90°，
∴∠DHG+∠AHE=90°，
∴∠GHE=90°，
∵四邊形EFGH是菱形，
∴四邊形EFGH是正方形．

點評 本題主要考查了矩形、菱形的性質(zhì)以及正方形的判定，解決問題的關(guān)鍵是掌握：矩形的四個角都是直角，菱形的四條邊都線段，有一個角為直角的菱形是正方形．在解題時注意，求直角三角形的邊長時，一般都需要考慮運用勾股定理進行求解．