Question

3．如圖，拋物線L：y=-$\frac{1}{2}$（x-1）（x+3）與x軸從左到右的交點(diǎn)為B，A，過(guò)線段OA的中點(diǎn)M作MP⊥x軸，交雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）于點(diǎn)P，且OA•MP=8．
（1）求k的值；
（2）求AB長(zhǎng)；
（3）求拋物線L的對(duì)稱軸與頂點(diǎn)坐標(biāo)，并求直線MP與L對(duì)稱軸之間的距離；
（4）當(dāng)拋物線向右平移3個(gè)單位后，其頂點(diǎn)是否落在雙曲線上，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)點(diǎn)M是OA中點(diǎn)得出OM=$\frac{1}{2}$OA，進(jìn)而由OA•MP=8，得出OM•MP=4即可得出結(jié)論；
（2）令y=0直接求出點(diǎn)A，B坐標(biāo)即可求出AB；
（3）先確定出拋物線的對(duì)稱軸為x=-1，再求出點(diǎn)M的坐標(biāo)即可得出結(jié)論；
（4）先確定出平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線解析式中判斷即可．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y）
∵M(jìn)是線段OA的中點(diǎn)，
∴OM=$\frac{1}{2}$OA，
∵OA•MP=8，
∴OM•MP=4，
∴xy=4，
∵點(diǎn)P在雙曲線上，
∴k=xy=4；
（2）令y=0，則0=-$\frac{1}{2}$（x-1）（x+3），
∴x=1或x=-3，
∴B（-3，0），A（1，0），
∴AB=4；
（3）由（2）知，B（-3，0），A（1，0），
∴拋物線的對(duì)稱軸為x=-1，
當(dāng)x=-1時(shí)，y=2，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，2），
∵M(jìn)是OA的中點(diǎn)，A（1，0），
∴M（$\frac{1}{2}$，0），拋物線的對(duì)稱軸為x=-1，
∴直線MP與L對(duì)稱軸之間的距離為$\frac{3}{2}$；
（4）在雙曲線上，
理由：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，2），
當(dāng)拋物線向右平移3個(gè)單位后，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），
把（2，2）代入雙曲線的解析式為y=$\frac{4}{x}$中，得出，左邊=右邊，
∴（2，2）在雙曲線上．
即：平移后拋物線的頂點(diǎn)落在雙曲線上．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的確定，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的確定，解（1）的關(guān)鍵是得出OM=$\frac{1}{2}$OA，解（2）的關(guān)鍵是確定出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，解（3）的關(guān)鍵是確定出M的坐標(biāo)，解（4）的關(guān)鍵是確定出平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．