Question

8．設(shè)直線nx+（n+1）y=$\sqrt{2}$（n為自然數(shù)）與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為S_n，則S₁+S₂+…+S₂₀₁₆的值為$\frac{2016}{2017}$．

Answer 1

分析 先利用坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出直線與x軸和y軸的坐標(biāo)，則利用三角形面積公式得到S_n=$\frac{1}{n（n+1）}$，再分別計(jì)算出S₁，S₂，S₃，S₂₀₁₅，然后利用$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$求它們的和．

解答 解：當(dāng)x=0時(shí)，y=$\frac{\sqrt{2}}{n+1}$，則直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，$\frac{\sqrt{2}}{n+1}$），
當(dāng)y=0時(shí)，x=$\frac{\sqrt{2}}{n}$，則直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{2}}{n}$，0），
所以S_n=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{2}}{n}$•$\frac{\sqrt{2}}{n+1}$=$\frac{1}{n（n+1）}$，
當(dāng)n=1時(shí)，S₁=$\frac{1}{1×2}$，
當(dāng)n=2時(shí)，S₂=$\frac{1}{2×3}$，
當(dāng)n=3時(shí)，S₃=$\frac{1}{3×4}$，
…
當(dāng)n=2016時(shí)，S₂₀₁₆=$\frac{1}{2016×2017}$，
所以S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₅=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2016×2017}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$=1-$\frac{1}{2017}$=$\frac{2016}{2017}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式，解決此類問題時(shí)求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．熟練運(yùn)用$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$是解決此題的關(guān)鍵．