Question

如圖，已知點(diǎn)C在⊙O上，AC=

1

2

AB，動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)C位于直徑AB的異側(cè)，點(diǎn)P在半圓弧AB上運(yùn)動(dòng)（不與A、B兩點(diǎn)重合），連結(jié)BP，過點(diǎn)C作直線PB的垂線CD交直線PB于D點(diǎn)，連結(jié)CP．
（1）如圖1，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，
①∠CPD的度數(shù)變化嗎？若變化，說明理由；若不變，求∠CPD的度數(shù)；
②當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PCD與△ABC全等．（直接在圖1中標(biāo)出點(diǎn)P的位置）
（2）如圖2，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)CP⊥AB時(shí)，求∠BCD的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,全等三角形的判定,含30度角的直角三角形

專題：

分析：（1）①由AC=

1

2

AB，動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)C位于直徑AB的異側(cè)，易求得∠ABC=30°，繼而可得∠CPD=∠A=60°；
②當(dāng)CP是直徑時(shí)，△PCD與△ABC全等；
（2）由（1）易求得∠PCD的度數(shù)，又由垂徑定理，可求得∠ACP的度數(shù)，繼而求得答案．

解答：解：（1）①∠CPD的度數(shù)不變．
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AC=

1

2

AB，
∴∠ABC=30°，
∴∠A=90°-∠ABC=60°，
∴∠CPD=∠A=60°；
②如圖：

（2）∵∠A=60°，
∴∠BPC=∠A=60°，
∵CD⊥PB，
∴∠PCD=90°-∠BPC=30°，
∵CP⊥AB，AB是⊙O的直徑，
∴

AC

=

AP

，
∴∠ACP=∠ABC=30°，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACP-∠PCD═90°-30°-30°=30°．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理、垂徑定理以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．